1. Матрицы. Определители. Основные понятия.

Определение. Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица вида:

или ,

где

Числа a_ij- называются элементами матрицы.

Если m=1, а n >1, то матрица является матрицей-строкой.

Если m >1, а n=1, то матрица является матрицей-столбцом.

Если m=n, то матрица называется квадратной, а число её строк (или столбцов) называется порядком матрицы.

Две матрицы A и B называются равными, если их размер одинаков и a_ij=b_ij.

Нулевая матрица - это матрица, у которой все элементы равны нулю.

Единичной матрицей называется квадратная матрица:

.

Пример

Определение. Матрицей транспонированной к матрице A размерности m x n, называется матрица A^T размерности n x m, полученная из матрицы A, если её строки записать в столбцы, а столбцы - в строки.

Пример

Матрицы одинакового размера (однотипные) можно складывать, вычитать, перемножать и умножать на число.

Суммой (разностью) двух однотипных матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме или разности .

Пример

Произведением матрицы A на число p называется матрица, элементы которой равны pa_ij

или (C_ij)=(pa_ij)

Пример

Произведением двух квадратных матриц A и B называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-ой строки и k-го столбца, является суммой парных произведений элементов i-ой строки первой матрицы на элемент k-ой строки второй матрицы С=АВ.

Пример

То же правило распространяется на умножение прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.

Матрицы для которых АВ=ВА, называются коммутирующими.

При умножении двух ненулевых матриц может получиться нулевая матрица.

Линейной комбинацией однотипных матриц А₁, А₂, …, А_к с коэффициентами λ₁, λ₂, …, λ_к называется матрица той же размерности А=А₁λ₁+А₂λ₂+…+А_кλ_к=0.

Определение. Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента a₁₁.

Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице , называется число равное .

Пример

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице , называется число равное .

Пример

Определение. Минор элемента a_ij - определитель, который получается из исходного, вычеркиванием i-го столбца и j-ой строки.

Пример

Определение. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя называется его минор взятый со знаком .

Пример

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице n-го порядка, называется число, равное сумме парных произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

2. Обратная матрица. Ранг матрицы.

Определение. Обратной матрицей для квадратной матрицы A называется матрица A^-1, которая удовлетворяет условиям AA^-1=A^-1A=E.

Пример

Матрица A называется вырожденной, если её определитель .

Определение. Минор элемента a_ij-определитель, который получается из исходного, вычеркиванием i-го столбца и j-ой строки.

Пример

Определение. Минор порядка «r» называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка «r+1» и выше равны нулю или не существуют. Все базисные миноры имеют одинаковый порядок.

Определение. Рангом матрицы называется порядок базисного минора.