[Править] Алгоритм

1. Задаются начальным приближением x₀.

2. Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять или (то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение: .

[Править] Пример

Иллюстрация применения метода Ньютона к функции f(x) = cosx − x3 с начальным приближением в точке x0 = 0,5.
График последовательных приближений.	График сходимости.
Согласно способу практического определения скорость сходимости может быть оценена как тангенс угла наклона графика сходимости, то есть в данном случае равна двум.

Рассмотрим задачу о нахождении положительных x, для которых cosx = x³. Эта задача может быть представлена как задача нахождения нуля функции f(x) = cosx − x³. Имеем выражение для производной . Так как для всех x и x³ > 1 для x > 1, очевидно, что решение лежит между 0 и 1. Возьмём в качестве начального приближения значение x₀ = 0,5, тогда:

Подчёркиванием отмечены верные значащие цифры. Видно, что их количество от шага к шагу растёт (приблизительно удваиваясь с каждым шагом): от 1 к 2, от 2 к 5, от 5 к 10, иллюстрируя квадратичную скорость сходимости.

[Править] Условия применения

Иллюстрация расхождения метода Ньютона, применённого к функции f(x) = x³ − 2x + 2 с начальным приближением в точке x₀ = 0.

Рассмотрим ряд примеров, указывающих на недостатки метода.

[Править] Контрпримеры

• Если начальное приближение недостаточно близко к решению, то метод может не сойтись.

Пусть

Тогда

Возьмём нуль в качестве начального приближения. Первая итерация даст в качестве приближения единицу. В свою очередь, вторая снова даст нуль. Метод зациклится и решение не будет найдено. В общем случае построение последовательности приближений может быть очень запутанным.

График производной функции f(x) = x + x²sin(2 / x) при приближении x к нулю справа.

• Если производная не непрерывна в точке корня, то метод может расходиться в любой окрестности корня.

Рассмотрим функцию:

Тогда и всюду, кроме 0.

В окрестности корня производная меняет знак при приближении x к нулю справа или слева. В то время, как: для .

Таким образом не ограничено вблизи корня, и метод будет расходиться, хотя функция всюду дифференцируема, её производная не равна нулю в корне, бесконечно дифференцируема везде, кроме как в корне, а её производная ограничена в окрестности корня.

• Если не существует вторая производная в точке корня, то скорость сходимости метода может быть заметно снижена.

Рассмотрим пример:

Тогда и за исключением , где она не определена.

На очередном шаге имеем ,

Скорость сходимости полученной последовательности составляет приблизительно 4/3. Это существенно меньше, нежели 2, необходимое для квадратичной сходимости, поэтому в данном случае можно говорить лишь о линейной сходимости, хотя функция всюду непрерывно дифференцируема, производная в корне не равна нулю, и бесконечно дифференцируема везде, кроме как в корне.

• Если производная в точке корня равна нулю, то скорость сходимости не будет квадратичной, а сам метод может преждевременно прекратить поиск, и дать неверное для заданной точности приближение.

Пусть

Тогда и следовательно . Таким образом сходимость метода не квадратичная, а линейная, хотя функция всюду бесконечно дифференцируема.