№ 3.1

Электрический заряд — это свойство материальных тел, выражающееся к способности особого рода взаимодействия; количественная характеристика, показывающая степень возможного участия тела в электромагнитном взаимодействии.

З аряд любого тела может принимать только определенные дискретные значения, кратные элементарному заряду. Существуют два вида электрических зарядов - положительные и отрицательные. В замкнутой системе тел алгебраическая сумма электрических зарядов сохраняется (закон сохранения электрического заряда) q₁ + q₂ + q₃ + ... +q_n = const. Под точечным зарядом понимают заряженное тело, размеры которого малы по сравнению с расстояниями до других заряженных тел. Закон взаимодействия точечных зарядов — закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам q₁ и q , и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними. Вектор, равный отношению силы, с которой заряд q действует на точечный малый положительный заряд q₀ (так называемый пробный заряд), помещенный в некоторую точку пространства называют напряженностью электрического поля точечного заряда. Силовой линией называют такую линию, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора напряженности поля в этой точке. Принцип суперпозиции: сила взаимодействия между двумя заряженными телами не зависит от третьего тела. Если имеется N точечных зарядов q_i (где i = 1, 2, 3, ..., N), то сила, с которой заряд q_i действует на некоторый точечный заряд q, не зависит от присутствия других зарядов (принцип суперпозиции). Густота линий напряженности характеризует интенсивность электростатического поля. Число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора E. Потоком вектора напряженности через поверхность S. Дивергенция вектора напряженности в произвольной точке поля равна объемной плотности макроскопического заряда в этой точке, деленного на диэлектрическую постоянную. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов.

Единица измерения заряда в СИ — кулон — электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А за время 1 с. Заряд в один кулон очень велик. Если бы два носителя заряда (q₁ = q₂ = 1 Кл) расположили в вакууме на расстоянии 1 м, то они взаимодействовали бы с силой9·10⁹ H. Электрический заряд любой системы тел состоит из целого числа элементарных зарядов, равных примерно 1,6·10⁻¹⁹ Кл^[1] в системе СИ или 4,8·10⁻¹⁰ед. СГСЭ^[2]. Носителями электрического заряда являются электрически заряженные элементарные частицы. Наименьшей по массе устойчивой в свободном состоянии частицей, имеющей один отрицательный элементарный электрический заряд, является электрон (его масса равна 9,11·10⁻³¹ кг). Наименьшая по массе устойчивая в свободном состоянии античастица с положительным элементарным зарядом — позитрон, имеющая такую же массу, как и электрон^[3]. Также существует устойчивая частица с одним положительным элементарным зарядом — протон (масса равна 1,67·10⁻²⁷ кг) и другие, менее распространённые частицы. Существуют также частицы с меньшим зарядом (±⅓ и ±⅔ элементарного заряда) — кварки; однако они не выделены в свободном состоянии (и, по-видимому, могут существовать лишь в составе других частиц — адронов), в результате любая свободная частица несёт лишь целое число элементарных зарядов. Самое простое и повседневное явление, в котором обнаруживается факт существования в природе электрических зарядов, — это электризация тел при соприкосновении^[4]. Способность электрических зарядов как к взаимному притяжению, так и к взаимному отталкиванию объясняется предположением о существовании двух различных видов зарядов. Один вид электрического заряда называют положительным, а другой — отрицательным. Разноимённо заряженные тела притягиваются, а одноимённо заряженные — отталкиваются друг от друга.

При соприкосновении двух электрически нейтральных тел в результате трения заряды переходят от одного тела к другому. В каждом из них нарушается равенство суммы положительных и отрицательных зарядов, и тела заряжаются разноимённо.

При электризации тела через влияние в нём нарушается равномерное распределение зарядов. Они перераспределяются так, что в одной части тела возникает избыток положительных зарядов, а в другой — отрицательных. Если две эти части разъединить, то они будут заряжены разноимённо.

№3.2

Элементарная работа сил электрического поля при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории. Работа A₁₂ не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными.

Работа перемещения заряда в электростатическом поле по любому замкнутому контуру L равна нулю:

Циркуляция вектора а по замкнутому контуру: Ротором называется предел к которому

стремится отношение циркуляции вектора а, к неограниченной площади стремящейся к нулю:

Теорема Стокса: циркуляция вектора а по замкнутому контуру равна интегралу ротора а на площадь.

Теорема о циркуляции вектора E: циркуляция вектора напряженности электростатического поля

вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Ротор:

С калярная величина, равная отношению потенциальной энергии заряда q₀ в электрическом поле заряда q к величине этого заряда называется потенциалом электрического поля заряда q в данной точке . Потенциал в данной электростатического поля точке является функцией только координат этой точки. Потенциал электростатического поля определен только с точностью до постоянной величины. Работа сил поля по перемещению единичного положительного заряда из произвольного положения 1 в положение 2 равна убыли потенциала. Потенциал данной точки определяет работу электростатического поля по переносу единичного заряда из данной точки на бесконечность (где потенциал равен 0). Связь: Для графического изображения распределения потенциала используются эквипотенциальные поверхности — поверхности во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение. Эквипотенциальные поверхности всегда перпендикулярны силовым линиям. Работа по переносу заряда вдоль эквипотенциальной линии равна 0. Напряженность поля направлена в сторону убывания потенциала.

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.

Силовые поля, обладающие этим свойством, называют потенциальными или консервативными.

На рис. 1.4.2 изображены силовые линии кулоновского поля точечного заряда Q и две различные траектории перемещения пробного заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2). На одной из траекторий выделено малое перемещение   Работа ΔA кулоновских сил на этом перемещении равна 

Таким образом, работа на малом перемещении зависит только от расстояния r между зарядами и его изменения Δr. Если это выражение проинтегрировать на интервале отr = r₁ до r = r₂, то можно получить 

Работа, совершаемая электростатическое полем при перемещении точечного заряда q из точки (1) в точку (2), равна разности значений потенциальной энергии в этих точках и не зависит от пути перемещения заряда и от выбора точки (0).

A12 = A10 + A02 = A10 – A20 = Wp1 – Wp2.

Потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

№3.3Э лектрическим диполем (или двойным электрическим полюсом) называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+q,-q), расстояние l (плечо) между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля (l <<r). Плечо диполя l — вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними. Электрический момент диполя p — вектор, совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению модуля заряда q на плечо l :

Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

Другими словами, электрический диполь представляет собой совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга

Произведение вектора   проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов   называется дипольным моментом: 

Во внешнем электрическом поле   на электрический диполь действует момент сил   который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.

Потенциальная энергия электрического диполя в (постоянном) электрическом поле равна   (В случае неоднородного поля это означает зависимость не только от момента диполя - его величины и направления, но и от места, точки нахождения диполя).

Вдали от электрического диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием   как   то есть быстрее, чем у точечного заряда ( ).

Любая в целом электронейтральная система, содержащая электрические заряды, в некотором приближении (то есть собственно в дипольном приближении) может рассматриваться как электрический диполь с моментом   где   — заряд  -го элемента,   — его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.

Магнитный диполь

Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» (эта аналогия условна, так как магнитных зарядов, с точки зрения современной электродинамики, не существует). В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых изучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади   по которой течёт ток   При этом магнитным моментом диполя (в системе СГСМ) называют величину   где   — единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, при наблюдении в котором ток в рамке представляется текущим по часовой стрелке.

Выражения для вращающего момента  , действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь, и потенциальной энергии постоянного магнитного  диполя в магнитном поле, аналогичны соответствующим формулам для взаимодействия электрического диполя с электрическим полем, только входят туда магнитный момент   и вектор магнитной индукции  :

№3.4

Диэлектриками называются вещества, которые при обычных условиях практически не проводят электрический ток. Диэлектрики с неполярными молекулами, симметричные молекулы которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент N₂, H₂,O₂, CO₂. Диэлектрики с полярными молекулами, молекулы которые вследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент NH₃, SO₂, CO. Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей или появления под воздействием электрического поля ориентированных по полю диполей. Виды поляризации: Электронная, или деформационная, поляризация диэлектрика полярными молекулами — за счет деформации электронных орбит возникает индуцированный дипольный момент у атомов и молекул диэлектрика. Ориентационная, или дипольная, поляризация диэлектрика с полярными молекулами — ориентация имеющихся

дипольных моментов молекул по полю (эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического

поля и чем ниже температура). Для количественного описания поляризации диэлектрика используется векторная величина - поляризованность, которая определяется как дипольный момент единицы объема диэлектрика.

В случае изотропного диэлектрика поляризованность(для большинства диэлектриков за исключением

сегнетоэлектриков) линейно зависит от напряженности внешнего поля. Диэлектрическая восприимчивость χ вещества, характеризующая свойства диэлектрика (положительная безразмерная величина). Связанные (поляризационные) нескомпенсированные заряды, которые возникают вследствие поляризации на поверхности диэлектрика. Сторонние заряды, которые помещают на диэлектрик извне. Свободные заряды, которые создают внешнее поле.

словно к проводникам относят материалы с удельным электрическим сопротивлением ρ < 10⁻⁵ Ом·м, а к диэлектрикам — материалы, у которых ρ > 10⁸ Ом·м. При этом надо заметить, что удельное сопротивление хороших проводников может составлять всего 10⁻⁸ Ом·м, а у лучших диэлектриков превосходить 10¹⁶ Ом·м. Удельное сопротивление полупроводников в зависимости от строения и состава материалов, а также от условий их эксплуатации может изменяться в пределах 10⁻⁵—10⁸ Ом·м. Хорошими проводниками электрического тока являются металлы. Из 105 химических элементов лишь двадцать пять являются неметаллами, причём двенадцать элементов могут проявлять полупроводниковые свойства. Но кроме элементарных веществ существуют тысячи химических соединений, сплавов или композиций со свойствами проводников, полупроводников или диэлектриков. Чёткую границу между значениями удельного сопротивления различных классов материалов провести достаточно сложно. Например, многие полупроводники при низких температурах ведут себя подобно диэлектрикам. В то же время диэлектрики при сильном нагревании могут проявлять свойства полупроводников. Качественное различие состоит в том, что для металлов проводящее состояние является основным, а для полупроводников и диэлектриков — возбуждённым.

Развитие радиотехники потребовало создания материалов, в которых специфические высокочастотные свойства сочетаются с необходимыми физико-механическими параметрами. Такие материалы называют высокочастотными. Для понимания электрических, магнитных и механических свойств материалов, а также причин старения нужны знания их химического и фазового состава, атомной структуры и структурных дефектов.

Удельное сопротивление деионизированной воды (см. также бидистиллят) — 10-20 МОм·см.

№3.5

Для описания (непрерывного) электрического поля системы зарядов с учетом поляризационных свойств диэлектриков вводится вектор электрического смещения (электрической индукции). Вектор D описывает электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т.е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике: поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов. Граничное условие для нормальной составляющей в отсутствии сторонних (свободных) зарядов на поверхности.

 или  ,

  Для упрощения расчетов была введена новая векторная величина – вектор электрического смещения (электрическая индукция):

(4.3.1)

      Из предыдущих рассуждений  , тогда  , отсюда

(4.3.2)

      Таким образом, вектор   остается неизменным при переходе из одной среды в другую (рис. 4.10, б), и это облегчает расчет  . Зная   и ε, легко рассчитывать 

, отсюда можно записать:

(4.3.3)

где   – вектор поляризации, χ – диэлектрическая восприимчивость среды, характеризующая поляризацию единичного объема среды.

      Таким образом, вектор   – есть сумма (линейная комбинация) двух векторов различной природы:   – главной характеристики поля и   – поляризации среды.

      В СГС:   поэтому в вакууме   и размерность у   и   одинакова.

      В СИ:  , т. е. это заряд, протекающий через единицу поверхности.

      Для точечного заряда в вакууме 

      Для   имеет место принцип суперпозиции, как и для  , т.е.

№3.6

Поверхностная плотность зарядов s, определяется как величина заряда, приходящаяся на единицу площади поверхности тела, несущего заряд.

На поверхности проводника возникают макроскопические положительные и отрицательные заряды. Напряженность поля внутри проводника равно 0. Объемная плотность макроскопических зарядов внутри проводника также равно 0.

П отенциал проводника во всех точках одинаков. Объем проводника является эквипотенциальным объемом, а поверхность –эквипотенциальной поверхностью. Вектор напряженности E снаружи проводника вблизи его поверхности перпендикулярен этой поверхности. Сила действующая на единицу площади поверхности заряженного проводника: Теорема Фарадея: А. Электрическое поле внутри расположенной в проводнике полости отсутствует: Б. Заряд на стенках полости равен по величине и противоположен по знаку заряду, расположенному внутри полости: Потенциал: Физическая величина C, равная отношению заряда проводника к его потенциалу, называется электрической емкостью этого проводника.

Конденсатор: электрический прибор для накопления электрических зарядов. Емкость конденсатора — физическая величина, равная отношению заряда q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов j₁ - j₂ между его обкладками: Емкость плоского конденсатора: Соединение последовательное: q₁=q₂=q_n,

U=U₁+U₂+U_n , 1/C=1/C₁+1/C₂+1/C_n . Параллельное: U₁=U₂=U_n, q=q₁+q₂+q_n , C=C₁+C₂+C_n .

Плотность заряда — это количество заряда, приходящееся на единицу длины, площади или объёма, таким образом определяются линейная, поверхностная и объемная плотности заряда, которые измеряются в системе СИ: в Кулонах на метр [Кл/м], в Кулонах на квадратный метр [Кл/м²] и в Кулонах на кубический метр [Кл/м³], соответственно. В отличие от плотности вещества, плотность заряда может иметь как положительные, так и отрицательные значения, это связано с тем, что существуют положительные и отрицательные заряды.

Линейная, поверхностная и объемная плотности заряда, обозначаются обычно функциями  ,   и  , соответственно, где   — это радиус-вектор. Зная эти функции мы можем определить полный заряд:

№3.7

Е сли поле создается системой n точечных зарядов, то потенциальная энергия заряда q₀ , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

Энергия заряженного конденсатора:

Э нергия приходящаяся на единицу объёма пространства, называется плотность энергии

электрического поля:

  Работа при перемещении заряда   из точки 1 в точку 2 определяется выражением:      

    (1.10)

     т.е. не зависит от траектории перемещения заряда, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а кулоновские силы – консервативными силами.      

     Из формулы (1.10) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е.      

     (1.11)

     Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на перемещении   будет равна   где   проекция вектора   на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (1.11) можно записать в виде        

    (1.12)

      Этот интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойством (1.12), является потенциальным. Из обращения в нуль циркуляции вектора   следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются и оканчиваются на зарядах (положительных и отрицательных) или же уходят в бесконечность.       Формула (1.12) справедлива только для электростатического поля; для электрического поля движущихся зарядов циркуляция вектора напряженности отлична от нуля.       Тело, находящееся в потенциальном поле сил, в частности, в электростатическом поле, обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа. Поэтому работу кулоновских сил (формула (1.10)) можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд   в начальной и конечной точках поля заряда  :        

      (1.13)

     Таким образом, потенциальная энергия заряда   в поле заряда   равна     

     где С – постоянная интегрирования, которая определяется из граничных условий. При   потенциальная энергия   и  . Следовательно, потенциальная энергия заряда  , находящегося в поле заряда   на расстоянии r от него, равна:      

           (1.14)

     Если поле создается системой из n точечных зарядов   то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом  , равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия   заряда  , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий  в полях, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:      

     (1.15)

      Из формул (1.14) и (1.15) можно выделить отношение  , которое называется потенциалом и является энергетической характеристикой электростатического поля:      

      (1.16)

     Таким образом, потенциал в какой-либо точке электростатического поля есть физическая скалярная величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.       Из формулы (1.16) с учетом (1.14) следует, что потенциал точки поля точечного заряда      

     (1.17)

     где r – расстояние от заряда до заданной точки. Работа, совершаемая силами электростатического поля по перемещению заряда   из точки 1 в точку 2 (выражение (1.13)) может быть представлена как      

        (1.18)  

      т.е. работа кулоновских сил численно равна произведению величины перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках поля. Из формулы (1.18) следует, чторазность потенциалов двух точек электростатического поля – это физическая скалярная величина, определяемая работой, совершаемой кулоновскими силами при перемещении единичного положительного заряда из одной точки в другую.       Если перемещать заряд   из произвольной точки за пределы поля, т.е. в бесконечность, где по условию потенциал равен нулю, то согласно (1.18) работа сил электростатического поля  откуда      

     (1.19)

      Таким образом, потенциал – это физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.       Единица потенциала – вольт (В): 1 В – это потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией в 1 Дж (см. формулу (1.16)):      

     Из формул (1.15) и (1.16) вытекает, что если электростатическое поле создается несколькими зарядами, то потенциал точки поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов: