51

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

Кафедра «Точные приборы и измерительные системы»

(ПР - 1)

С.С. Каниовский, Б.Ю. Каплан

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОЛУЧЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва

1. ВВЕДЕНИЕ

Вся объективная информация об окружающем нас мире, физические, химические и другие количественные теории, промышленное производство базируются на результатах измерений. Процессы во Вселенной и живой клетке, в центрах звезд и молекулах, в ракетном двигателе и атоме могут быть поняты в той мере, в какой удается создать их описание, называемое в науке «моделью». Что это означает? Это означает, что мы мысленно выделяем некий объект из его окружения (Солнце из совокупности звезд, клетку из их совокупности в организме и т.д.) путем описания его отличительных свойств.

При корректном описании свойств объектов можно понять, как их идентифицировать и чем они отличаются. Например, Солнце отличается от клетки размерами, температурой, спектром и мощностью электромагнитного излучения.

Сложность заключается в том, что на уровне одних рассуждений мы никуда не продвигаемся в понимании свойств объектов и только запутываем вопрос. Действительно, в рассматриваемом примере необходимо ответить на вопросы: что такое «размер», «температура», «спектр», «мощность» и т.д. Во-вторых, каким-то образом определить для каждого объекта характерные «размер», «температуру», «спектр», «мощность»; в-третьих, ввести градации свойств, с тем, чтобы можно было говорить о малости этого свойства в одном объекте по сравнению с другим.

Ответы на поставленные вопросы дает наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности, называемая метрологией. В метрологии рассматриваются вопросы получения и представления объективной количественной информации о физических объектах; методом их получения являются измерения. Сообщения о моральной оценке каких-то поступков, трансляция по телевидению спектаклей, политических дебатов или футбольных матчей, с точки зрения метрологии, не является информацией. Далее мы будем рассматривать информацию о физических величинах в аспекте метрологии.

Под физической величиной понимается некоторое свойство физических объектов, качественно общее для них, но в количественном отношении индивидуальное для каждого объекта [1]. Например, линейный размер является свойством космического объекта (звезды, галактики) и отдельного атома. То же самое относится к массе, температуре и другим свойствам физических объектов. Необходимо подчеркнуть, что реальные объекты обладают бесконечным числом свойств. Выбирая некоторые из них для измерений, мы мысленно упрощаем физический объект, создаем его модель той или иной степени сложности. Это обстоятельство необходимо всегда иметь в виду, поскольку грубые модели, во-первых, могут существенно исказить представления о физическом объекте и, во-вторых, увеличить погрешности результатов измерения. Например, необходимо определить величину электрического тока в цепи, используя амперметр, измеряющий действующее значение тока. Если форма реального тока в цепи отлична от синусоиды, то показания амперметра (пренебрегая его собственной погрешностью) будут содержать ошибку тем большую, чем больше реальная форма тока отличается от синусоиды. Если форма тока приближается к прямоугольной, то погрешность может составить десятки процентов.

Возникает логическое противоречие: чтобы измерить физическую величину какого-либо объекта необходимо построить его модель, а для построения модели необходимо сначала выполнить измерения для определения параметров модели. Указанное противоречие является объективно существующим фактором процесса познания. Преодолевается оно методом последовательных приближений: сначала строится грубая модель объекта и проводятся измерения его параметров; по мере получения результатов измерений модель уточняется, и вновь проводятся измерения, но уже более точные и т. д.

Так что же понимается под термином «измерение»? Под измерением понимается нахождение значения физической величины путем физического эксперимента сравнения данной физической величины с известной физической величиной того же рода, принятой за единицу измерения.

Чтобы величина была измерима, она должна обладать свойствами аддитивности, т.е. для нее должно быть известно как физически (а не математически) выполнить операции сравнения и сложения (суммирования).

Рассмотрим следующий пример. Имеется стержень длиной Q. Возьмем второй стержень и совместим один его конец с концом первого стержня, а выступающую за противоположный конец первого стержня часть второго стержня удалим (отрежем). Мы выполнили операцию сравнения. Получились два стержня длинной Q. Расположив их один за другим с соприкасающимися концами, получим общую длину Q₁=Q+Q=2Q, тем самым выполнив операцию физического суммирования. Продолжая указанный процесс, можно сопоставить стержень длиной Q со стержнем любой другой длины nּQ, где n-целое число (более подробный анализ процедур сравнения и что делать, если n не целое число, выходит за рамки данного курса и представлен в учебниках по метрологии). Теперь достаточно принять длину Q за единицу измерения [Q], чтобы реализовать основное уравнение измерений

Q_n=n·[Q],

где [Q] – принятая за единицу величина той же природы, что и Q_n; имеет соответствующее наименование (один метр, один фут, один дюйм);

n - неименованное число, указывающее сколько единиц измерения [Q] содержит измеряемая физическая величина Q_n .

Следовательно, физическая величина «длина» является аддитивной и ей может быть сопоставлено число, указывающее во сколько раз данная физическая величина Q_n больше такой же по природе физической величины, принятой за единицу измерения [Q]. Свойством аддитивности обладают такие физические величины, как длина, площадь, масса, время, электрический ток и другие. Их называют экстенсивными величинами.

А теперь попытаемся указанным выше способом организовать измерение температуры. Выясняется, что нет процедур, позволяющих непосредственно установить температуру тела А равной температуре тела В, можно только дать оценку у какого из тел температура выше. Как реализовать операцию суммирования температур тел А и В вообще неясно. Например, имеем два ведра с водой какой–то температуры. Сольем воду в одну бочку. Понятно, что при этом объем воды в бочке станет равен сумме объемов ее в каждом ведре. А температура? Тоже сложится? Очевидно, нет. Например, если температура воды в ведрах была одинакова, то после объединения в бочке она останется такой же.

Подобные физические величины, не обладающие свойством аддитивности, называются интенсивными. В рамках данного выше определения измерений и их основного уравнения такие величины не могут быть измеримыми. В то же время интенсивные величины (температура, давление) являются определяющими параметрами физических и химических процессов и без знания их значений невозможен ни теоретический анализ, ни техническая реализация большинства физических и химических процессов.

Выход из тупика был найден Г. Галилеем (1564-1642 г.г.) и заключается он в следующем. Для подлежащей определению интенсивной физической величины Х ищут экстенсивную величину Y, связанную хорошо изученной зависимостью Y=f(X) с интенсивной величиной. Измеряют экстенсивную величину Y и по известной зависимости X=f ^-1(Y) определяют значение интенсивной физической величины X. Так, давление с помощью мембраны или сильфона преобразуется в линейное перемещение, измерять которое мы умеем. Температура может быть преобразована в линейное перемещение жидкости в трубке, угловое перемещение биметаллической пластинки, приращение омического сопротивления проводника или полупроводника и т.д. Таким образом, в процедуры измерения вошла операция преобразования одной физической величины в другую.

Экстенсивные величины, как выясняется при более подробном рассмотрении, в большинстве случаев так же не могут быть непосредственно сопоставлены с единицей соответствующей физической величины. Измерения расстояний до космических объектов, измерения электрических и магнитных величин (токов, напряжений, мощностей, напряженности, индукции и т.д.) могут быть выполнены только с помощью преобразования измеряемой величины в связанную с ней функциональной зависимостью другую, легко измеримую физическую величину. Таким образом, мы приходим к понятию «измерительный преобразователь», т.е. устройству, преобразующему одну физическую величину в другую по известной функциональной зависимости.

Не всякий преобразователь может быть отнесен к категории «измерительный». Например, обычный рычаг является преобразователем силы, но его нельзя считать «измерительным преобразователем». Чтобы преобразователь отнести к категории «измерительный» он должен обладать набором характеристик, позволяющих определить степень отличия преобразованной величины данным преобразователем от преобразованной величины, полученной с помощью некоего «идеального» преобразователя. Указанные характеристики называются «метрологическими характеристиками» и в дальнейшем будут рассмотрены более подробно. Теперь можно дать точное определение термину «измерительный преобразователь».

Измерительный преобразователь (ИП) – техническое средство, имеющее метрологические характеристики, предназначенное для преобразования измеряемой величины в другую величину или измерительный сигнал, удобный для обработки, хранения, дальнейших преобразований, индикации или передачи [1].

В процессе развития измерительной техники измерительные преобразователи получили широчайшее распространение для преобразования не только интенсивных, но и экстенсивных физических величин и входят в состав измерительных приборов и систем в качестве важнейших устройств.

Обсуждение особенностей преобразования той или иной физической величины с целью получения количественной информации о ней, чем мы в дальнейшем и займемся, необходимо предварить кратким анализом общих для всех преобразователей свойств. Цель этого анализа – введение критериев, по которым одни физические эффекты будут считаться более предпочтительными, чем другие при преобразовании одних и тех же физических величин.

2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

1. ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СХЕМА ИП

В общем виде ИП представляет собой техническое устройство, имеющее входы (один или несколько), и выход. На вход подобного устройства поступает совокупность физических величин, характеризующих изучаемый физический объект, например, на вход амперметра поступает электрический ток, характеризуемый его формой, частотой, напряжением, фазовым сдвигом между током и напряжением, мощностью и т.д. Потребителя информации интересует одна из величин X, например, величина тока. В общем случае подлежащая определению физическая величина X изменяется во времени, т.е. Х=Х(t), где t-момент времени от какого-то условного начала отсчета (начала эксперимента, календарного года и тому подобного).

Поскольку физические объекты обладают совокупностью физических величин, на вход ИП поступают кроме Х(t) и те величины, которые не подлежат измерению (в нашем примере это напряжение, форма тока, частота, и т.д.); они называются «неинформативными параметрами входного сигнала». Кроме того, на ИП воздействуют факторы окружающей среды, изменяющие, часто существенно, свойства преобразователя. Указанные факторы называются «влияющими величинами» и их значения обозначаются так же . Сам измерительный преобразователь взаимодействует с измеряемым физическим объектом (например, потребляет от объекта измерений часть мощности), изменяя значение измеряемой величины Х(t); обозначим результат взаимодействия через N.

При создании ИП предполагалось, что он будет выполнять некоторое точно известное преобразование входной величины Х(t) в выходную величину Y_Н (t) по выбранной функции преобразования f_Н, называемой функцией преобразования. При отсутствии влияния ИП на объект измерения (т.е при N=0) и постоянных, заранее оговоренных в документации значениях влияющих величин и неинформативных параметров входного сигнала :

. (2.1)

Очевидно, что функция преобразования должна обеспечивать однозначную зависимость выходной величины преобразователя от входной: увеличение или уменьшение значения входной величины X должно вести к соответствующему увеличению (или уменьшению) значения выходной величины Y. Желательно технически реализовать функцию, имеющую простое математическое описание и обеспечивающую возможно простую зависимость выходной величины от входной. Всем указанным требованиям в максимальной степени отвечает линейная функция Y = SX + Y₀. Для ее описания достаточно двух параметров: начального значения выходной величины Y₀ (нулевого уровня), соответствующего нулевому (или какому-либо другому характерному) значению входной величины X, и показателя относительного наклона характеристики S = dY/dX, называемого чувствительностью преобразователя. Чувствительность преобразователя – это, как правило, именованная величина с размерностью равной отношению размерности выходной величины Y к размерности входной величины X. Например, обычный ртутный термометр, в котором температура преобразуется в длину столбика ртути в капилляре, имеет размерность чувствительности м/⁰С, а термоэлектрический термометр, у которого выходным параметром является электрическое напряжение, соответственно В/⁰С.

На практике, к сожалению, чаще всего не удается найти такое преобразование входной величины X(t), чтобы на выходе ИП сигнал Y=f(X) был строго пропорционален величине входного воздействия. Например, преобразование давления в частоту вибрационно-частотного ИП происходит по уравнению, в котором входная величина стоит под знаком квадратного корня, уравнение преобразования криогенной температуры в сопротивление платинового термометра описывается уравнением двенадцатой степени и т.д. Как следствие - чувствительность преобразования S = dY/dX не остается постоянной по диапазону входной величины.

Реальный преобразователь всегда имеет некоторые отличия от идеальной модели ИП:

• Функция преобразования f несколько отличается от теоретической модели f_н.

• Выходной сигнал Y(t) преобразователя в момент времени t соответствует входной величине X в момент времени , где - время реакции преобразователя.

• Значения неинформативных параметров входного сигнала и влияющих величин _i не совпадают с номинальными значениями _iн.

• Влияние ИП на объект измерения N отличен от нуля.

По указанным причинам результат преобразования Y(t) в момент времени t имеет вид

. (2.2)

Разность выражений (2.2) и (2.1) определяет погрешность преобразования t значения физической величины Х(t). Естественно, на практике стремятся добиться того, чтобы погрешность преобразования t) была существенно меньше выходного сигнала преобразователя Y(t). Учитывая малость величины t) по сравнению с Y(t), разложим выражение разности в ряд Тейлора и ограничимся первыми членами разложения. Получим приближенное значение погрешности преобразования в виде:

, (2.3)

где _ном.

В выражении (2.3) представлены основные группы составляющих погрешности измерительных преобразователей. Первый член правой части выражения называется основной погрешностью преобразователя - это погрешность, обусловленная не идеальностью собственных свойств ИП, т.е. отличием реальной характеристики преобразования f от номинальной f_н. Второй член содержит дополнительные погрешности – погрешности результата преобразований, обусловленные реакцией преобразователя на изменения влияющих величин и неинформативных параметров входного сигнала относительно их номинальных значений. Третий член – динамическая погрешность – погрешность, обусловленная инерционностью ИП и скоростью изменения входного сигнала. Четвертый член содержит погрешность, которая образуется в результате взаимодействия средства измерений с объектом измерений (или другим подключенным к входу или выходу компонентом измерительной цепи). Особенность перечисленных групп погрешностей, кроме первой, состоит в том, что все они связаны не только со свойствами ИП, но и с условиями преобразования.

Смысл разбиения погрешности преобразования на различные составляющие заключается в том, что изучение каждой составляющей погрешности, уменьшение или исключение отдельных составляющих (это называется «парированием погрешности») ведется разными способами и конструкторскими решениями.

Рассмотрим каждую составляющую (2.3) более подробно. Предварительно необходимо отметить, что непостоянство свойств самого ИП, значений измеряемой физической величины, неинформативных и влияющих параметров, предполагают описание их моделей в общем случае понятиями и терминами математической статистики. В данном курсе не ставится задачи ознакомления студентов со статистическими моделями ИП, но после предварительного ознакомления с необходимым математическим аппаратом, эти вопросы будут изложены в других курсах.

2.2. ОСНОВНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

2.2.1. Абсолютная, относительная и приведенная погрешности

Предположим, что для некоторой физической величины, например, для биотоков мозга, предложен преобразователь с линейной (теоретически) функцией преобразования. Для нашего примера – это электронный усилитель постоянного тока с коэффициентом усиления 1000 и, следовательно, с номинальной функцией преобразования y = S·x = 1000ּx, где x, y – текущие значения входной и выходной физических величин, S – чувствительность. Это означает, что сигнал мозга в 0 мкВ должен преобразоваться усилителем в сигнал 0мкВ, а сигнал 20мкВ - соответственно в 20000мкВ.

Реальный преобразователь, в силу воздействия различных факторов (паразитных термоэдс, наводок, изменения напряжения питания, старения элементов схемы и т.д.) имеет несколько отличную от номинальной функцию преобразования: при подаче на вход усилителя 0мкВ на выходе имеется сигнал 10мкВ; а при подаче на вход 20мкВ, на выходе напряжение равно 20200мкВ. Величина разности реального y_Р и номинального сигналов y_Н при каждом значении входного сигнала X называется абсолютной погрешностью измерения _y, т.е. _y=y_Р-y_Н. Графическая интерпретация сказанного представлена на рис. 2.1; для наглядности картины, пропорции в изображении шкалы по оси Y искажены.

К ак видно из рисунка, абсолютная погрешность преобразования при входном сигнале x₁ = 0 равна _y1=10мкВ, а при сигнале x₂ = 20мкВ - составляет _y2 = 200мкВ.

Рис.2.1. Номинальная f_н (сплошная линия) и реальная f_Р (пунктирная линия) статические функции преобразования усилителя

Абсолютную погрешность преобразования можно выразить по-другому, через входную физическую величину X. Для этого из номинального значения выходного сигнала (20000мкВ) проведем горизонтальную линию до пересечения с реальной f_Р и номинальной f_н функциями. Из точек пересечения опустим перпендикуляры на ось X, которые дадут значения x_Р и x_н соответственно. Разность x_Р и x_н определяет значение абсолютной погрешности преобразования через входную величину, т.е. _x = x_н-x_Р (обратите внимание на расстановку знаков при отсчете по оси X или Y).

Абсолютная погрешность не может, однако, служить мерой сравнения характеристик различных преобразователей. Действительно, абсолютная погрешность _y=200 мкВ составляет сотую долю от выходного сигнала 20000 мкВ, что может быть вполне приемлемо. А если те же _y=200 мкВ имеют место при выходном сигнале преобразователя 400мкВ, то это никак нельзя считать допустимым. Поэтому вводится понятие относительной погрешности _х = _х/х = _у/у, выражен­ной обычно в процентах.

Последнее понятие тоже не решает задачи оценки свойств ИП, поскольку при изменении значений х и у вдоль шкалы преобразователя текущее значение относительной погрешности оказывается раз­личным для различных значений х: при больших значениях входной величины относительная погрешность мала, а при малых х относительная погрешность стремится к бесконечности. Вследствие этого в измерительной технике вводится еще одно специфическое понятие — приведенная по­грешность, равная ₀ = _х/Х_к = _у/Y_к, где Х_к и Y_к - конечные значения диапазона измерения (если диапазон измерения начинается не с нуля, то Х_к и Y_к означают величину диапазона преобразования). По существу, ₀ является выраженной в процентах абсолютной погрешностью, так как в этом случае _х (или _у) относится не к текущему значению х, а к по­стоянной величине диапазона измерения Х_к (или Y_к).

2.2.2. Аддитивные и мультипликативные погрешности [2].

В теории ИП оказывается весьма важным разделение основной погрешности преобразования на составляющие в зависимости от изменения их значений при изменении входной величины x по диапазону преобразования.

Если реальная характеристика f_Р (на рис. 2.2,а обозначена цифрой 1) смещена относительно номиналь­ной 2 (рис. 2.2,а) так, что при всех значениях преобразуемой ве­личины x выходная величина у оказывается больше (или меньше) на одну и ту же величину ₀, то такая погрешность называется аддитивной (по - латински «получаемая путем сложения») или погрешностью нуля. Если она является систематиче­ской, то есть постоянной по величине и неизменной во времени, то она может быть скорректирована путем смещения шкалы или смещения нулевого положения указателя. Для выполнения этой операции во многих приборах предусматривается электрическое или механическое устройство для установки нуля (так называемый «корректор»).

Если же аддитивная погрешность является случайной, то она не может быть скорректирована, и реальная характеристика, сме­щаясь произвольным образом (но оставаясь параллельной самой себе) образует полосу погрешностей, ширина которой остается по­стоянной для любых значений х, как это показано на рис. 2.2, б.

Систематические аддитивные погрешности возникают от постороннего груза на чашке весов при взвешивании, от неточной установки приборов на нуль перед измерением, от термоэдс в цепях постоянного тока и т. п. Примерами слу­чайных аддитивных погрешностей являются погрешности от трения в опорах измерительного механизма, от наводок переменных эдс на вход преобразователя, погрешность от ненадежных контактов при изме­рении сопротивлений и т. д.

Рис. 2.2. Аддитивные и мультипликативные составляющие погрешности статической функции преобразования

Если же абсолютная погрешность возникает от некоторого неза­висимого от x изменения чувствительности S преобразо­вателя (изменение коэффициента усиления усилителя, коэффициента деления делителя, добавочного со­противления вольтметра и т. п.), то реальная характеристика 1 преобразователя отклоняется от но­минальной 2 так, как это показано на рис. 2.2,в, или образует по­лосу погрешностей (рис. 2.2, г), если это отклонение является слу­чайным. В том и другом случае возникающие вследствие этого абсолютные погрешности оказываются пропорциональными текущему значению преобразуемой величины x и поэтому такая погрешность называется мультипликативной (по - латински «получае­мая путем умножения») или погрешностью чувстви­тельности.

Таким образом, основную погрешность преобразователя мы представили в виде двух компонентов: аддитивной (погрешность нуля) и мультипликативной (погрешность чувствительности). Возвращаясь к рассмотренному выше примеру, можно утверждать, что _y1= ₀=10 мкВ есть погрешность нуля данного усилителя (поскольку имеет место при нулевом значении входного сигнала). При входном сигнале x₂ = 20мкВ погрешность складывается из погрешности нуля ₀=10 мкВ (еще раз подчеркиваем, что погрешность нуля постоянна во всем диапазоне изменения входной величины) и погрешности чувствительности _y2S, равной _y2S =_y2 -₀= 200 -10=190 мкВ.

Создается впечатление, что аддитивная составляющая погрешности, неизменная во всем диапазоне преобразования, (в силу своей малости) несущественна по сравнению с мультипликативной составляющей, растущей вместе с входным сигналом. Поэтому аддитивной составляющей можно пренебречь, сосредоточившись на анализе и парировании мультипликативной погрешности.

Недопустимость подобного упрощения становится понятной, если рассмотреть относительные погрешности. Значения относительной аддитивной погрешности (х) = ₀/x оказываются обратно пропорциональными х: при боль­ших входных величинах х значения (х) малы, но стремятся к бесконечности при приближении х к нулю. В этом заключается основное отрицательное свойство аддитивных погрешностей, не позволяющее использовать один и тот же пре­образователь с аддитивной погрешностью для преобразования как больших, так и малых физических величин.

Чтобы относительная величина погрешности ИП не возрастала по мере уменьшения х, абсолютная погреш­ность преобразователя должна быть чисто мультипликативной. Тогда характеристика преобразователя, с учетом погрешности, описывалась бы выражением y = S(1  _S)x, где s — относительная погрешность изменения чувствительности. Абсолютная ширина полосы неопределенности в этом случае была бы пропорциональна х как d = 2_Sx, а относительная погрешность _S оставалась бы постоянной для любых малых значений х, ибо при х = 0 была бы равна нулю абсолютная погрешность преобразователя d.

Однако такой идеальный случай практически не осуществим, так как невозможно построить ИП, полностью ли­шенный аддитивных погрешностей. Эти погрешности в виде погреш­ностей от шума, дрейфа, трения, наводок, неизбежны в любых типах измерительных преобразователей. Поэтому у реаль­ных ИП полоса неопределенности характеристики выглядит так, как это показано на рис. 2.1.

Функция преобразования, с учетом аддитивной ±₀, и мульти­пликативной ±_s составляющих погрешностей, приобретает вид у = S (1 ± _s) (х ± ₀). Производя умножение в правой части выражения и пренебрегая произведением двух малых величин _s ₀, получим значение выходной величины в виде у = Sх ± S₀ ± S_sх. Окончательно значение абсолютной погрешности по выходной величине преобразования оказывается находящимся в интервале (с учетом возможных знаков перед составляющими погрешности) y = ±( S₀+ S_s х).