Экономическая постановка задачи

Рассмотрим пример. Допустим, хозяйство занимается возделыванием только двух культур (зерновых и картофеля). Располагает хозяйство следующими ресурсами: пашня – 5000 га, труд – 300 тыс. человеко-часов, возможный объем тракторных работ – 28 000 усл.эт.га.

Цель производства – получение максимального объема валовой продукции (в стоимостном выражении).

Требуется найти оптимальное сочетание посевных площадей культур. при математической формулировке условий задачи будем пользоваться нормативами затрат и выходя продукции для данного хозяйства. эти данные сведены в таблицу.

КУЛЬТУРЫ	ЗАТРАТЫ НА 1 ГА		СТОИМОСТЬ (тыс.руб)
	ТРУД (чел-час)	ТРАКТ. РАБ (усл.эт.га)
ЗЕРНОВЫЕ	30	4	400
КАРТОФЕЛЬ	150	12	1000

Уясним смысл задачи. Критерием оптимальности является максимум стоимости валовой продукции. Этот максимум должен достигаться в пределах использования ограниченных ресурсов пашни, труда и механизированных работ. Указанные условия выступают в качестве ограничений задачи, а приведенные в таблице показатели – являются технико-экономическими коэффициентами.

Для дальнейшего решения поставленной задачи надо научиться ее математически формулировать, т.е. записать в виде системы неравенств.

Математическая формулировка задачи линейного программирования.

В нашем примере неизвестными величинами являются посевные площади зерновых и картофеля. Введем переменные задачи:

х1 – площадь зерновых, га

х2 – площадь картофеля, га

Критерий оптимальности обозначается через С и записывается следующим образом

С=400х1+1000х2  max

Сформулируем теперь математически условия задачи. Максимум целевой функции должен быть достигнут при соблюдении следующих условий.

1. Общая площадь зерновых и картофеля не должна превышать площади пашни:

х1+х2  5000

2. Общие затраты труда не должны быть больше имеющихся в хозяйстве ресурсов:

30х1+150х2300000

3. Общий объем механизированных работ не должен превышать возможных ресурсов тракторного парка:

4х1+12х228000

4. Площади не могут быть отрицательными величинами:

х10 и х20

Таким образом, математически формализованная задача выглядит следующим образом:

С=400х1+1000х2  max, при ограничениях

х1+х2  5000

30х1+150х2300000

4х1+12х228000

х10 и х20

Число ограничений в задачах может быть очень большим – от десятков до многих сотен.

В задачах оптимального планирования различают 2 вида решений:

опорный (допустимый) план

оптимальный план

Набор переменных х1, х2, и т.д., удовлетворяющих системе ограничений задачи называется опорным планом.

Для нашей задачи можно предположить следующие опорные планы:

Хопор={х1=1, х2=1};

Хопор={х1=0, х2=0};

Опорных планов может быть бесчисленное множество. Среди множества опорных планов необходимо найти такой, который бы доставлял целевой функции экстремальное значение.

Набор переменных х1, х2 и т.д., удовлетворяющих системе ограничений задачи и доставляющий целевой функции экстремальное значение называется оптимальным планом.

Обычно оптимальный план один, в исключительных случаях их может быть несколько, это встречается тогда, когда количество переменных мало.