X1ox2 – старая система координат, X`1o`X`2 - новая система координат, с ортами e`1 и e`2
Начало координат старой и новой системы совпадают. Возьмем в плоскости произвольную точку М. Найдем связь между старыми и новыми координатами имеем:
ОМ = х1е1 + х2е2 и ОМ = x`1e`1 + x`1e`1+ x`2e`2, таким образом:
х1e1 + x2e2 = x`1e`1 + x`2e`2 (2)
Умножим обе части равенства (2) скалярно на е1, принимая е1е1=1 и е1е2=0
х1 = x`1(e1e`1)+x`2(e1e`2)
Умножая обе части (2) скалярно на е`2 получим:
х2 = x`1(e2e`1)+x`2(e2e`2) (3)
Введм обозначения:
α11 = e1e`1 = │e1││e`1│cos(e1;e`1) = cos(e1;e`1)
α12 = e1e`2 = cos(e1;e`2)
α21 = e2e`1 = cos(e2;e`1) (4)
α22 = e2e`2 = cos(e2;e`2)
Тогда равенства (2) и (3) можно записать в виде:
x1 = α11x`1 + α12x`2 (5)
x2 = α21x`1 + α22x`2
Формулы (5) называются формулами преобразования координат на плоскости, а матрица
- матрицей преобразования.
Рассмотрим матрицы-столбцы:
и
.
С помощью преобразования координат (5)
в матричной форме запишем в виде: x
= Lx`
Установим некоторые свойства матрицы L. Прежде всего найдем разложение векторов е1 и е2 по новому базису e`1 и e`2:
;
;
;
,
то
(6)
Формулы (6) дают разложение векторов е1 и е2, по базису е`1 и e`2. Аналогично получим разложение e`1 и e`2 по базису e1 и e2:
(7)
Так как е1е1=1 и е1е2=0, то примая во внимание (4) и (6) получим:
(8)
Аналогично: е`1е`1=1 и е`1е`2=0 получим из (4) и (7)
(9)
Матрица L обладает следующими свойствами:
а) сумма квадратов элементов строки (столбца) равна 1
б) сумма парных произведений элементов строки (столбца) на соответсвующие элементы другой строки (столбца) равна 0
Матрица обладающая этими свойствами называется ортогональной.
Рассмотрим транспонированную матрицу L:
, с учетом (8) имеем:
Таким образом матрица LT является обратной для матрицы L, тоесть
L-1=LT=
(10)
Пусть новая система координат получена из старой системы, поворотом осей на угол α. В этом случае:
Следовательно формулы (5) принимают вид:
x1 = x`1cosα+ x`2sinα (11)
x2 = x`1sinα+ x`2cosα
Формулы (11) называются формулами поворота осей.
Привидение матрицы квадратичной формы
к диагональному виду.
Квадратичной формой от двух переменных х1 и х2 называется однородный многочлен второй степени, относительно этих переменных:
F = a11x12 + 2a12x1x2 + a22x22 (1)
Здесь a11, a12, a12 – числа, задание которых определяют формулу. Их называют коэффициентами формы. Покажем, как квадратичную форму (1) можно записать в матричной форме. Прежде всего пологая а12=а21, запишем (1) в виде:
F = (a11x1 + a12x2)х1 + (a21x1 + a22x2)х2
- называется матрицей квадратичной
формы (1)
Введя матрицу столбец
и
,можно убедиться, что:
F = x*Ax (2)
Последовательно находим:
Привидение квадратичной формы к
каноническому виду.
Поставим задачу: выбрать новую систему координат Х`1OX`2, так чтобы в квадратичной форме от перемены Х`1, X`2 отсутствовал член произведения, то есть он принимал такой вид:
(3)
– каноническая форма
Для сокращения записи преобразования будем проводить в матричной форме.
Рассмотрим матрицу – строку
Имеет место равенство:
x* = x*L-1 (4)
Действительно установлено:
,
отсюда, в силу равенства:
следует:
Подставляем в правую часть равенства (2) выражение для х* и х: х=L-1x` и х*=х*L-1, будем иметь:
F = x*Ax = (x`*L-1)A(Lx`) = x*`(L-1AL)x`
следовательно в новой системе координат матр.-квадратичной формы:
F = x`*(L-1AL)x` A` = L`AL
Введем теперь новую систему координат Х`1OX`2, так чтобы матрица А` приняла следующую форму:
В этом случае говорят что матрица приведена к диагональному виду. При этом квадратичная форма F переменных x`1 и x`2 запишутся в виде уравнения (3). Итак новую систему координат надо выбрать так, чтобы матрица L преобразования удовлетворяла соотношению:
Умножим обе части этого равенства слева на матрицу L:
,
отсюда:
(5)
(6)
Таким образом неизвестные коэффициенты преобразования α11, α12, α21, α22 находятся из систем (5) и (6). Каждая из этих систем является однородной. Для того чтобы они имели отличные от 0 решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель каждой из этих систем был равен 0. Таким образом λ1 и λ2 являются корнями уравнения.
(7)
Дискриминант этого квадратного уравнения всегда больше 0 и оно имеет действительные корни. Уравнение (7) называется характеристическим уравнением матрицы А. Корни этого уравнения называются собственными значениями матрицы А. Подставляя найденные из уравнения (7) значения λ1 и λ2 в системы (5) и (6) и решая их, найдем коэффициенты преобразования координат: α11, α12, α21 и α22
Пример:
Привести к каноническому виду квадратичную
форму:
a11=5 a12=a21=2 a22=2
Составим характеристическое уравнени:
Поэтому заданая квадратичная форма приводится к каноническому виду:
Если числа λ1 и λ2 –одного знака, то квадратичная форма (1) принадлежит эллептическому типу.
Если λ1 и λ2 – разных знаков, то к гиперболическому типу.
Если же одно из чисел λ1 и λ2 равно 0, то к параболическому типу.