Полярное уравнение прямой.

Найдем уровнение прямой в полярных координатах.

l

L

P

α M(r;φ)

φ

0 P

Её положение можно определить указав расстояние Р от полюса 0 до данной прямой и угол α между полярной осью ОР и осью l, проходящей через полюс 0 и перпендикулярной данной прямой. Для любой точки M(r;φ) на данной прямой имеем: пр_lОМ=Р, с другой стороны пр_lOM=│OM│cos(α - φ)= r cos(α - φ). Следовательно,

r cos(α - φ) = Р (8)

Полученное уравнение (8) и есть уравнение прямой полярных координат.

Нормальное уравнение прямой.

у

P

Пусть прямая определяется заданием Р и α. Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв за полюс 0 и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде: rcos(α - φ) – P = 0; rcosαcosφ±sinαsinφ – P=0

Но в силу формул прямоугольные полярные координаты:

Следовательно, уравнение (8) прямой в прямоугольной системе координат примет вид:

хcosα + ysinα – P = 0 (9)

Уравнение (9) называется нормальным уравнением прямой.

Покажем как привести уравнение Ах + Ву + С = 0 к виду уравнения (9):

Умножим все члены уравнения на некоторый множитель λ≠0:

λАх + λВу + λС = 0 – это уравнение должно обратиться в уравнение (9). Должны выполнятся равенства: λА = cosα; λВ = sinα; λС = Р. Из первых двух равенств находим:

Множитель λ называется нормирующим множителем, согласно λС = Р знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.

Пример: привести уравнение -3х+4у+15=0 к нормальному виду.

Решение: Находим нормирующий множитель:

Умножаем данное уравнение на λ, получим искомое нормальное уравнение прямой:

Угол между двумя прямыми и условия параллельности

и перпендикулярности двух прямых.

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями: y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂

l₂

l₁

φ

α₂ α₁

Требуется найти угол φ, на который надо повернуть в противоположном направлении прямую l_1, вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой l₂

Решение:

Имеем α₂ = φ+ α (согласно теореме о внешнем угле) или φ = α₂ - α₁, если φ≠π\2, то tg φ =

= tg(α₂ - α₁)= ,но tgα₁ = k₁; tgα₂ = k₂ поэтому:

(10)

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая какая прямая является первой, а какая второй, то правая часть формулы (10) берется по модулю:

Если прямые параллельны, то tg φ = 0, значит k₁ = k₂

Следовательно, условием перпендикулярности является k₁∙k₂ = -1

Расстояние от точки до прямой.

Пусть заданы прямая L: Ax+By+C=o и точка М₀(х₀;у₀). Требуется найти расстояние от точки М₀ до прямой L.

y

M₁(x₁;y₁) М₀(х₀;у₀)

n(A;B)

0 L x

Решение:

Расстояние от М₀ до Д = │пр_LM₁M0│(где М₁(х₁;у₁) – произвольная точка на прямой L) на направлении нормали n(A;B)

так как точка М₁(х₁;у₁) принадлежит прямой L, то Ах₁+Ву₁+С = 0, следовательно

С = -Ах₁-Ву₁, учитывая это:

Кривые второго порядка.

Рассмотрим лини, определяемые уравнениями второй степени, относительно текущих координат:

Ах² + 2Ву + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0n (1)

коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из счисел А,В,С отлично от 0. Такие линии называются кривыми второго порядка. Уравнение (1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

Окружность.

Простейшей кривой второго порядка является окружность: окружностью радиуса r, с центром в точке М₀, называется множество всех точек m плоскости, кдовлетворяющих условию: (М₀М) = r

y

M(x;y)

r

M₀(x₀;y₀)

Отсюда, из расстояний ММ₀ вытекает:

(2)

Уравнение (2) называется каноническим уравнением окружности, в частности, полагая х₀=0 и у₀=0 получим уравнение окружности с центром в начале координат.

х² + у² = 0

Эллипс.

Элипсом называется множество всех точек плоскости, сумма растояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.

М(х;у) F₁M = r₁

F₂M = r₂

r₁ r₂

F₁(-c;0) 2c F₂(c;0)

директриса элипса

Обозначим фокусы F₁ и F₂, расстояние между ними через 2С, а сумму расстояний от произвольной точки элипса до фокусов через 2А. Согласно определению │МF₁│+

+│MF₂│ = 2A

(3)

По сути это и есть уравнение эллипса.

Привидем уравнение (3) к более простому виду:

так как а>с , то а²-с²>0, значит:

(4)

Получим: b²x² + a²y² = a²b², отсюда находим, что

(5)

Уравнение (5) называется каноническим уравнением эллипса. Форма эллипса зависит от отношения b к а. При b=а эллипс превращается в окружность. Уравнение эллипса принимает вид: х² + у² = r²

В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением с\а. Отношение с\а – половина расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом.

(6)

Причем 0<ε<1, так как 0<с<а; r₁ = r₂ называются локальными радиусами

Теорема

Если r – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от этой же точки до соответствующей этой точке директрисе, то отношение r\d – есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса.

Гипербола.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами.

y

M(x;y)

F(-c;0) F(c;0) x

x=-a x=a

Согласно определению гиперболы │МF₁│-│MF₂│ = 2а, то есть

После упрощений, как это было при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы:

(7)

b² = c² – a² (8)

Парабола.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается буквои Р(Р>0). Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху, так чтобы ось Ох проходила через фокус F.

N M(x;y)

x=-P/2 0 x F(P\2;0) x

По определению параболы МF = MN, по формуле расстояний между двумя точками находим: отсюда получаем:

(9)

Это и есть каноническое уравнение параболы.

Пример: из уравнения (1) можно определять:

при А=С – окружность

АС>0 – эллипс

АС<0 – гипербола

АС=0 – парабола

Пример: установить вид прямой 2 –ого порядка, заданной уравнением 4х²+5у²-20х-

-30у+10=0

Решение: А=4 С=5 АС=4∙5=20>0 – следовательно это эллипс

Центр эллипса -

Пример 2: х²+10х-2у+11=0 С=0 АС=0 следовательно парабола

х²+10х-2у+11+25-25=0

(х+5)² = 2у+14

(х+5)²=2(у+7) – уравнение параболы

О(-5;7) – вершина параболы ; Р=1

Плоскость в пространстве.

Общее уравнение плоскости.

Расмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными x,y,z;

Ax + By + Cz + D =0 (1)

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А,В,С не равен 0, например В≠0 перепишем уравнение (1) в виде:

А(х-0) + В(у+D\В) + C(z-0) = 0 (2)

Уравнения (1) и (2) являются уравнениями плоскости, нормальным вектором n(A;B;C) проходящей через . Итак, уравнение (1) определяет в системе координат Охуz некоторую плоскость. Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1) D = 0, то Ах+Ву+Сz=0 – этому уравнению удовлетворяет точка 0(0;0;0), следовательно в этом случае плоскость проходит через начало координат.

2) С= 0, то Ах+Ву+D=0 n=(A;B;0) перпедикулярен Oz, следовательно плоскость:

если В=0 || Оу

А=0 || Ох

С=0 || Оz

3) C=D=0 , то плоскость проходит через 0(0;0;0), то есть Ах+Ву=0 проходит через ось Oz

Аналогично: Ву+Сz = 0 ||Ox

Ax+Cz = 0 ||Oy

4) A=B=0 то уравнение (1) принимает вид Cz+D=0, то есть z=-D\C. Плоскость || плоскости Оху

Аналогично: Ах +D = 0 || Oyz

By +D = 0 || Oxz

5)A=B=D=0, то уравнение (1) имеет вид Cz=0, то есть z=0 – это уравнение плоскости Оху

Аналогично: y = 0 || Oxz

x = 0 || Oyz

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

перпендикулярно данному вектору.

Пусть в пространстве Охуz в плоскости Q задана точка М₀(х₀;у₀;z₀) с вектором n(A;B;C) препендикулярным к этой плоскости.

z

n

M₀

M y

x Q

Введем уравнение плоскости Q, возьмем на ней произвольную точку М(х;у;z) и составим вектор ММ₀

При любом расположении точки М на плоскости Q векторы n и ММ₀ всегда взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно 0 (nMM₀=0)

(3)

Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (3). Координаты точек, нележащих на плоскости Q этому уравнению не удовлетворяют. Уравнение (3) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку М₀(х₀;у₀;z₀) перпендикулярно вектору n(A;B;C) Оно в первой степени, относительно текущих координат х,у,z. Вектор n(A;B;C) называется нормальным вектором плоскости. Придавая коэффициентам А,В,С уравнения (3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через М₀.

Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (3) – уравнением связки плоскостей.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки М₁(х₁;у₁;z₁), М₂(х₂;у₂;z₂), М₃(х₃;у₃;z₃), не лежащие на одной прямой. Возьмем на плоскоости произвольную точку М(х;у;z) Составим М₁М(х-х₁;y-y₁;z-z₁);М₁М₂ (х₂-х₁;y₂-y₁;

;z₂-z₁) и М₁М₂ (х₃-х₁;y₃-y₁; z₃-z₁)

Эти вектора лежат на плоскости Q, следовательно они компланарны. Используем условие компланарности трех векторов. Их смешанное произведение равно 0.

(4)

Уравнение (4) – есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскостm отсекает на осях Ох, Оу и Oz соответственно отрезки a,b и c.

z

C(0;0;C)

B(0;b;0)

y

A(a;0;0)

То есть плоскость проходит через тоски А,В,С. Подставляя эти значения в уравнение (4) получим:

Раскрыв определитель имеем: bcx–abc+abz+acy = 0, то есть bcx+acy+abz=abc

(5)

Уравнение (5) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Этим уравнением удобно пользоваться при построении плоскости.

Нормальное уравнение плоскости.

Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора е, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость из начала координат и длиной р этого перпендикуляра.

z

K

e M

γ r

β y

α

x

Пусть ОК = Р, а α ,β и γ – углы образованные единичным вектором е с осями Ох,Оу и Oz. Тогда вектор е = (cosα; cosβ; cosγ).Возьмем на плоскости произвольную точку М(х;у;z)

и соеденим её с началом координат, образуем вектор r=OM(x;y;z). При любом положении точки М на плоскости Q проекция радиус-вектора r на направление вектора е: пр_еr=р, то есть re=р или

r∙е – р = 0 (6)

Уравнение (6) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов r и е, уравнение (6) перепишем в виде:

xcosα + ycosβ + zcosγ – p = 0 (7)

Уравнение (7) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.

Отметим, что общее уравнение плоскости (1) можно привести к нормальному уравнению (7), так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости, а именно: умножив обе части уравнения (1) на нормирующий множитель . Знак берется противоположным знаку свободного члена р общего уравнения.

Угол между двумя плоскостями.Условие параллельности и

перпендикулярности двух плоскостей.

Пусть заданы две плоскости Q₁ и Q₂: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ =0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ =0

Под углом между Q₁ и Q₂ принимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Угол φ между n₁(A₁;B₁;C₁) и n₂(A₂;B₂;C₂) равен одному из этих углов.

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Q₂

Q₂ n₂

m

n₁ Q₁

n₁ перпендикулярен n₂, тогда n₂n₁=0,

n₂ то есть А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂=0

φ Q₁

n

Q₂

m Q₂