Векторное произведение векторов и его свойства.

Векторным произведением вектора а на b называется вектор с, который

1) перпендикулярен векторам а и b

2) имеет длину численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b.

С │c│=│a││b│sinφ

B S

φ

b

3)Вектора a,b,c образуют правую тройку

а × b; [a,b]

0

Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие отношения между ортами i, j,k

i × j = k ; j × k = i ; k × i = j

Докажем, например, что i × j = k:

1)k перпендикулярен к i; k перпендикулярен к j

2)│k│=1, но │i × j │=│i│×│j│sin90⁰ = 1

3) вектора i, j, k образуют правую тройку

Три некомпланарных вектора a, b, с образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b.

правая тройка левая тройка

с с

а b а b

Свойства векторного произведения:

1) при перестановке сомножителей, векторное произведение меняет знак.

a×b a×b = - b×a

S Вектора a×b и b×a коллинеарны, имеют одинаковые модули (S

параллелограмма остается неизменной), но противоположно

направлены.

b×a

2) Векторное произведение обладает сочетательным свойством, относительно скалярного множителя.

λ(a×b) = (λ a)×b = (a×λ b)

Доказательство:

Пусть λ›0 ; λ(a×b) перпендикулярен а и b, вектор (λ a)×b также перпендикулярен а и b. Вектора а и λ a лежат в одной плоскости. Значит вектора λ(a×b) и (λ a)×b коллинеарны. Очевидно, что их направления совпадают, имеют одинаковую длину.

│λ(a×b) │= λ│a×b│=λ│а││b│sin(a,b)

│(λ a)×b│= │λ a││b│sin(λ a,b) = λ│a││b│sin(a,b)

Поэтому λ(a×b) = λ a×b

Аналогично доказывается при λ‹0

3) Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно ненулевому вектору, то есть:

а || b <=> a×b = 0

4) (a + b)c = ac + bc

Векторное произведение через координаты.

Будем использовать таблицу векторного произведения векторов i, j, k

	i	j	k
i	0	k	j
J	-k	0	i
k	i	-j	0

i

k j

Если направление кратчайшего пути совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору.

а = а_хi + а_yj + а_zk и b = b_хi + b_yj + b_zk.

a×b = (а_хb_z – а_zb_y)i - ( a_хb_z – a_zb_x)j +( a_хb_y – a_yb_x)k =

Некоторые приложения векторного произведения.

1) Установление коллинеарности векторов.

2) Нахождение площади параллелограмма и треугольника.

S_парал.= │a×b │= │a│×│b│sinφ

S_треуг.=1\2│a×b │

Определение момента силы относительно точки.

Пусть к точке А приложена сила F=AB, то

М

B

n F=AB φ

0 A

N

Из физики известно, что моментом силы F относительно точки 0 называется вектор М, который проходит через точку 0 и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки 0,А,В

2)численно равен произведению силы на плечо

│М│ = │F│∙0N = │F││n│sinφ = │F││0A│sin(F,0A)

3) образует правую тройку с векторами 0А и АВ. Стало быть М = 0А×F

Нахождение линейной скорости вращения.

Скорость v в точке М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера:

v = ωr ,где r = OM

v

M

ω

r

Смешанные произведения векторов.

Определение смешанного произведения,

его геометрический смысл.

Рассмотрим произведение векторов a, b, c, составленное следующим образом: (a×b)∙с –

здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число. Выясним геометрический смысл выражения (a×b)∙с

d

H c

b S

Имеем: (a×b)∙с = │d│пр_dс ; │d│= │a×b │= S

Таким образом смешанное произведение трех векторов равно объему параллепипеда, построенного на этих векторах. Взятых со знаком «+», если они образуют правую тройку и со знаком «-», если левую тройку.

Свойства смешанного произведения:

1) Смешанное произведение трех векторов равно 0, если

а) хотя бы один из векторов равен 0

б)два из перемножаемых вектора коллинеарны

в)три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны)

2) Смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного и скалярного:

(a×b)с = a (b×с)

3) При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменяет только знак:

bac=-abc; cba=-abc; acb=-abc

а = а_хi + а_yj + а_zk

Выражение смешанного произведения через координаты.

Пусть заданы вектора: а = а_хi + а_yj + а_zk , b = b_хi + b_yj + b_zk и с = с_хi + с_yj + с_zk

Найдем их смешанное произведение, используя выражение в координатах для векторного и скалярного произведений:

= (1)

Полученную формулу можно записать в виде:

Следовательно, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

Некоторые приложения смешанного произведения.

1) Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Если abc>0 , то a,b,c – правая тройка

Если abc<0, то a,b,c – левая тройка

2) Установление компланарности векторов.

a,b,c – компланарны, когда их смешанное произведение равно 0. (аbc=0)

3) Определение объема параллепипеда и треугольной пирамиды.

;

Пример: вершинами пирамиды служат точки: А(1;2;3) B(0;-1;1) C(2;5;2) D(3;0;-2) Найдем объем пирамиды V=?

Решение:

a=AB=(-1;-3;-2)

b=AC=(1;3;-1)

c=AD=(2;-2;-5)

Система координат на плоскости.

Расстояние между двумя точками.

Требуется найти расстояние d между точкой А(x₁;y₁) и точкой В(х₂;y₂) в плоскости Oxy/

y

B Искомое расстояние АВ((х₂ – х₁); (y₂ – y₁)), то есть

A

x

Требуется разделить АВ, соединяющий А(x₁;y₁) и В(х₂;y₂) в заданом отношении λ>0, то есть найти координаты точки М отрезка АВ, такой что

Введем в рассмотрение вектора АМ и МВ. Точка М делит отрезок АВ в отношении λ.

АМ = λМВ (1)

, но АМ((х₂ – х₁); (y₂ – y₁)), то есть АМ=(х – х₁)i+(y – y₁)j и МВ = (х₂ – х)i+ (y₂ – y)j Уравнение (1) принимает вид:

(х – х₁)i+(y – y₁)j = λ (х₂ – х)i+ λ (y₂ – y)j

Учитывая, что равные вектора имеют равные координаты, получим:

х – х₁ = λ (х₂ – х) и y – y₁ = λ (y₂ – y)

(2) (3)

Формулы (2) и (3) называются формулами деления отрезка в данном отношении.

В частности при λ=1 , то есть точка М – середина отрезка АВ.

Замечания:

- если λ=0, то это означает, что А и М совпадают

- если λ<0, то М лежит вне отрезка АВ, говорят что М делит АВ внешним образом.

Площадь треугольника.

Требуется найти S треугольника ABC, с вершинами А(x₁;y₁) B(x₂;y₂) C(x₃;y₃)

y B

A

C

A₁ B₁ C₁ x

Опустим из вершин перпендикуляры на ось Ох. Очевидно, что S_abc=S_aa1bb1+S_b1bc1 – S_a1acc1

Замечание:

- если при вычислении площади получили S=0, то это означает что A,B,C лежат на одной прямой

- если получили S<0, надо брать её модуль

Уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть на плоскости Охy задана произвольная прямая, не параллельная оси Оy. Её положение определяется ординатой в точке N(0;b)

y

M(x;y)

y

N(0;b) α x

Из определения тангенса угла следует равенство:, то есть

Введем обозначение tgα = k, получаем уравнение:

y = kx + b (1)

Которому удовлетворяет координаты любой точки М(x;y) прямой.

Число k=tg α называется угловым коффициентом прямой, а уравнение (1) – уравнением прямой с угловым коэффициентом.

- если b=0, следовательно прямая проходит через начало координат

- если y=b, следовательно прямая параллелбна оси Ох (α=0)

- если прямая параллельна оси Oy, следовательно α=90⁰, значит х=а

Общее уравнение прямой.

Рассмотрим уравнение первой степени относительно в общем виде:

Ах+By+c=0 (2)

,где А,В – произвольные числа, причем А и В ≠ 0

Покажем, что уравнение (2) - уравнение прямой линии:

возможны два случая:

1) если В=0 следовательно Ах+С=0, значит - уравнение прямой,параллельной оси Ох и проходящей через точку

2) если В≠0, следовательно - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=tgα=-A\C

Итак, уравнение (2) – уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.

Некоторые частные случаи уравнения прямой.

1) если А=0 следовательно прямая параллельна оси Ох

2) если В=0 следовательно прямая параллельна оси Oy

3) если С=0, следовательно Ах+Вy=0, значит прямая проходит через начало координат

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Пусть прямая проходит через точку М(x₀;y₀) и её направление характеризуется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде: y = kx + b, где b – неизвастная величина.

Так как прямая проходит через М(x₀;y₀), то коэффициенты точки удовлетворяют уравнению прямой y₀ = kx₀ + b, отсюда b = y₀ – kx₀

Подставляя значение в уравнение прямой, получим искомое уравнение:

y – y₀ = k(x –x₀) (1)

Уравнение (1) с различными значениями k называются также уравнениями пучка прямых с центром в точке М(x₀;y₀)

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть прямая проходит через точки М₁(x₁;y₁) и М₂(x₂;y₂)

Уравнение прямой, проходящей через точки М₁

y – y₁ = k(x₂ –x₁) (4)

где k – пока неизвестный коэффициент

Так как прямая проходит через точку М₂, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению y₂ – y₁ = k(x₂ –x₁) . Теперь находим k:

Подставляя k в уравнение (4), получим уравнение прямой, проходящую через точку М₂:

(5)

Уравнение прямой в отрезках.

y

M₂(0;b)

b

M₁(a;0) x

0 a

, то есть

(6)

Пусть прямая пересекакт ось Ох в точке M₁(a;0), а ось Оу в точке M₂(0;b). В этом случае уравнение (5) принимает вид (6). Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как а и b указывают какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку,

перпендикулярно данному вектору.

y

n M(x;y)

M₀(x₀;y₀) x

Найдем уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀;y₀) перпендикулярно данному ненулевому вектору n(A;B)

Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) и рассмотрим вектор М₀М(х-x₀;у-y₀). Поскольку вектора n и М₀М взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0, то есть

А(х-x₀) + В(у-y₀) = 0 (7)

Уравнение (7) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор n(A;B) перпендикулярный к прямой называется нормальным вектором этой прямой.

Полярная система координат.

у

М(r;φ)

A

r

φ φ

0 x 0 P

Задается точкой 0, называемой полюсом, лучом ОР, называемым полярной осью и единичным вектором е, того же направления что и луч ОР.

Возьмем на плоскости точку М. Положение точки М определяется двумя числами: её расстоянием r от полюса 0 и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки)

Числа r, φ называются полярными координатами точки М. Пишут М(r;φ). При этом r называется полярным радиусом, φ – полярным углом.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами: