1) Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Пусть прямые L1 и
L2 заданы уравнениями:
Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами С1(m1;n1;p1) и С2(m2;n2;p2). Поэтому по формуле для косинуса угла между векторами:
(14)
Для нахождения осторого угла между прямыми L1 и L2, числитель правой части в формуле (14) следует взять по модулю.
Если прямые L1 и L2 перпендикулярны, то cosφ=0, значит m1m2+n1n2+p1p2=0
Если прямые L1 и L2
параллельны, то
Условие при котором две прямые лежат в одной плоскости.
Пусть прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
И их направляющие в2ектора: S1(m1; n1; p1) и S2(m2; n2; p2)
Прямая L1 проходит через точку М1(х1;у1;z1), радиус-вектор которой обозначим r1 Прямая L2 проходит через точку М2(х2;у2;z1), радиус-вектор которой обозначим r2
z
L2
S2
M2
r2-r1
r1
S1 L1
r2 y
x
Тогда r2 – r1 = М1М2 = (х2-х1;y2-y1;z2-z1)
Прямые L1 и L2 лежат в одной плоскости, если вектора S1 и S2 и m1 и m2 – коллинеарны. Условием компланарности векторов является равное нулю их смешанное произведение, то есть: (r2 – r1)S1S2 = 0, то есть:
Угол между прямой и плоскостью.
Уравнение плоскости и перпендикулярность прямой к плоскости.
Пусть плоскость Q задана уравнение Ах + Ву + Сz + D = 0 (17)
и прямая L уравнением:
(16)
Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и её проекцией на плоскости.
Обозначим через φ угол
между плоскостью Q и прямой
L, и через α – угол между
векторами n(A;B;C)
и m(m;n;p),
тогда
n L
S
α
φ
m
Q
При это
если
если
если прямая L параллельна плоскости Q, то вектора n и S перпендикулярны и поэтому Sn=0
Аm + Вn + Сp = 0 =>L||Q
если прямая L перпендикулярна к плоскости Q, то вектора n и S параллельны и поэтому:
L перпендикулярна к Q
Пересечение прямой и плоскости.
Условие принадлежности прямой к плоскости.
Пусть требуется найти точки пересечения прямой плоскостью (17). Для этого надо решить систему уравнений (16) и (17). Проще всего это сделать, записав уравнение (16) в параметрическом виде:
Подставляя эти выражения для x,y,z в уравнение плоскости (17) получим:
А(х0+mt) + B(y0+nt) + C(z0+pt) + D = 0
t(Am+Bn+Cp) + (Aх0+By0+Cz0+D)=0 (18)
Если прямая L не параллельна плоскости, то есть Am+Bn+Cp≠0, то из уравнения (18) находим значение t:
Подставляя значение в параметрическое уравнение прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью.
Рассмотрим случай, когда Am+Bn+Cp=0
а) если F = Aх0+By0+Cz0+D ≠ 0, L параллельна Q, то есть пересекать не будет, так как t∙0≠F
б) если Aх0+By0+Cz0+D = 0, то (18) имеет вид: t∙0+0=0
Любая точка прямой – точка пересечения прямой и плоскости, то есть прямая лежит в плоскости. Таким образом одновременно выполняются равенства: Aх0+By0+Cz0+D = 0 и Am+Bn+Cp=0 –это является условием принадлежности прямой к плоскости.
Цилиндрические поверхности.
Поверхность, образованная движущейся прямой l, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую k – называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. При этом k – называется направляющей цилиндра, а прямая l – его образующей.
k
l
Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
Поверхность, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второй степени. Будем определять её геометрический вид. Для этого применим, так называемый, метод сечений – цилиндрические поверхности будем проводить перпендикулярно данной поверхности, с координатными плоскостями или параллельно им.
Исследуем поверхность, заданную уравнением:
(1)
Рассмотрим (1) с плоскостями параллельными плоскости Хоу
z
n Эллипсоид
b
a y
х
z
гиперболоид
a b
y
x
гиперболический параболойд
эллиптический
параболоид
Линейное отображение.
Преобразование координат, матрица преобразований.
Ортогональные матрицы.
В некоторых случаях приходится одновременно рассматривать две системы координат на плоскости и решать следующию задачу: зная координаты точки в одной системе координат найти её координаты в другой системе. Формулы, выражающие координаты точки в одной системе, через её координаты в другой системе называются формулами преобразования координат. Рассмотрим две системы: xoy и x`o`y`
y y`
M(x;y)
0 x`
0 x
Система X`O`Y` может быть получена параллельным переносом осей Ох и Оу. Условимся называть координатны системы ХОY старыми, а Х`О`Y` - новыми. Предположим, что точка М на плоскости имеет старые координаты х и у и новые x` и y`.Из рисунка получим:
(1)
Формулы (1) называются формулами параллельного переноса осей. Рассмотрим теперь в плоскости прямоугольную систему координат Х1ОХ2 с ортами е1 и е2
х2
х`2
M
x`1
e`2 e
e`2 e`1
φ
e1 x1