8,9. Методы обучения теоремам и доказательствам

Как знакомить учащихся с теоремами? При введении теорем, как и при введении понятий, используются два метода: конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный В первом случае теорема в готовом виде не сообщается, проводится спец. работа по подведению учащихся к теореме, обнаружению соответствующей закономерности. Итогом этой работы является формирование изучаемой теоремы

Абстрактно-дедуктивньий метод введения теоремы начинается с того, что учитель сам формулирует эту теорему, а затем проводится работу по уточнению смысла данной теоремы ее условия, заключения, построению чертежа

Выбор метода введения теорем должен быть нацелен на оптимизацию системы методов обучения, при этом надо учитывать не только временные затраты, но и получаемые результаты обучения. Как объяснить учащимся сущность доказательства? Доказательство теоремы представляет собой цепочку рассуждений.

Несмотря на то что запись доказательства в виде цепочки рассуждений в. учебниках не практикуется, тем не менее полезно, чтобы за весь период обучения в школе учащиеся знакомились хотя бы с З—4 примерами такого представления доказательства. Эти примеры помогут уточнить понятие доказательства, его сущность. Доказательство при этом можно охарактеризовать как цепочку последовательных рассуждений, которая позволяет сделать логический переход от условия к заключению теоремы. Обычно в учебниках доказательства приводятся в более краткой, свернутой форме, без детализации некоторых их шагов. Выделение шагов доказательства возможно на основе специального его анализа

Доказательства бывают прямые (аналитические и синтетические) и косвенные.

Рассмотрим синтетический метод. Исходным моментом доказательства является условие теоремы. На основе предыдущих предложений и законов логики условие теоремы постепенно преобразуют до тех пор, пока не приходят к заключению.

Аналитический метод доказательства.Восходящий анализ (анализ Паппа). При доказательстве методом восходящего анализа отталкиваются от заключения теоремы и подбирают для него достаточные условия.

Доказательство методом восходящего анализа направляется двумя вопросами: Что требуется доказать? и Что для этого достаточно знать?. Ход рассуждений, общая их направленность становятся более мотивированными, естественными. Нисходящий анализ (анализ Евклида). При нисходящем анализе рассуждения также начинают с заключения теоремы, однако подбирают уже не достаточные, а необходимые условия. Выведение необходимых условий продолжают до тех пор, пока не придут к очевидному следствию, представляющему собой или условие теоремы, или ранее изученное предложение. Если окажется возможным провести рассуждения в обратном порядке, при котором условие теоремы или очевидное предложение выступают отправной посылкой, то получим искомое доказательство Нисходящий анализ требует от учащихся значительной логической подготовки. Если не понимать недостаточность цепочки рассуждений и обязательность перехода к цепочке рассуждений, то смысл применения данного метода утрачивается.

Остановимся на вопросе о построении системы доказательств. Это построение может осуществляться двумя путями: 1) индуктивно устанавливаемый вначале факт подвергается затем доказательству, т. е. происходит поочередное «присоединение» каждого отдельно взятого факта к уже имеющемуся «дедуктивному массиву» или «дедуктивному островку»; 2) индуктивно устанавливается сразу целая совокупность фактов, осуществляется их логическая организация (см. тему 2, 5) и вся эта совокупность присоединяется к ранее построенному «дедуктивному массиву». Первый из указанных путей является традиционным, второй — еще не нашел в школьной практике широкого применения.

Обратимся к косвенному доказательству. В школьной практике обычно Ьно называется методом от противного. Доказательство В заключение отметим, что методика изучения теорем и их доказательств составляет наиболее развитую часть методики преподавания математики. Здесь отобраны лишь наиболее важные положения и факты данной темы, которые можно считать основополагающими в методической подготовке учителя математики. Каждую теорему можно рассматривать как задачу па доказательство,