5. Тождественные преобразования

Одна из важных идейных линий курса алгебры линия тождественны преобразований Поэтому Обучение математике в 4-5 классах строится таким образом, чтобы учащиеся уже в этих классах приобрели навыки простейших тождественных преобразований. Эти навыки формируются при выполнении упражнений на приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок и заключение в скобки, вынесение множителя за скобки и т. д. Рассматриваются также простейшие преобразования числовых и буквенных выражений. На этом уровне обучения осваиваются преобразования, которые выполняются непосредственно на Основе законов и свойств арифметических действий.

Приведем основные виды задач, при решении которых активно используются свойства и законы арифметических действий и через которые формируются навыки тождественных преобразований: обоснование алгоритмов выполнения действий над числами числовых множеств; вычисление значений числового выражения наиболее рациональным способом; сравнение значений числовых выражений без выполнения указанных действий; упрощение буквенных выражений; получение новых алгоритмов преобразований буквенных выражений; доказательство равенства значений двух буквенных выражений.

Изучение тождеств и тождественных преобразований проводится в тесной связи с изучением рассматриваемых в данном курсе ЧИСЛОВЫХ множеств. Задания от класса к классу усложняются. Самые первые задания, в которых требуется выполнить тождественные преобразовании просты и понятны учащимся. В других заданиях цепочки преобразований удлиняются От учащихся требуется объяснить каждый шаг преобразования, Выделить общее положения, поДтвержДающе правИЛЬность произведенного преобразования, а порой ОбЪЯСНИТЬ необходимость того или Иного Обоснования. При Выполнении упражнений уделяется внимание формулировке правил СВОЙСТВ, законов Лежащих в основе Данного преобразования, а также их запИси в форме. На первых Порах Обязательны Вопросы к учащимся. «Какие правила, Свойства, законы Использовались при выполнении заДания?, «Как они чИтаются? «Как Записываются с ПОМОЩЬЮ СИМВОЛОВ? и др.

В тождественных преобраЗова алгебраических выражений используются два правила: .подСтановки и замены равным

6. Виды теорем.

При изучении свойств различных математических объектов (например, фигур — в геометрии, чисел и уравнений — в алгебре) приходится делать те или иные заключения,. т. е. на основе понятий и суждений того или иного раздела математики строить предложения, истинность которых необходимо обосновать. Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой В теореме должно быть ясно указано:

1) при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы);

2) что об этом объекте утверждается (заключение теоремы).

Чтобы легче выделить условие заключение теоремы, ее часто формулируют в виде импликации, применяя логический союз: (если, то). Таким образом, доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение, т. е., приняв, что р истинно, в соответствии с правилами вывода показать, что q истинно, и тем самым получить возможность утвердить, что данное высказывание-теорема истинно в целом.

Известно, что, имея некоторую теорему (р→q), назовем ее прямой теоремой, можно образовать новую теорему и не одну:

1) обратную:q→p

2) противоположную: не р→не q

3) обратную противоположной: не q→не p