- •1. Матриці, дії над матрицями
- •4. Розв'язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера.
- •7. Лінії 2-го порядку, загальне рівняння.Коло та його рівняння.
- •15 Означення похідної, її геометричний та фізичний зміст. Залежність між неперервністю та диференційованістю функцій.
- •18. Теорема Ферма і Ролля.
- •Геометричний зміст теореми Ферма.
- •Геометричний зміст теореми Роля
- •19. Теорема Лагранджа
- •20. Теорема Коші
- •22. Частинні похідні вищих порядків. Екстремуми ф-ії багатьох змінних
- •32. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними. Однорідні та лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку.
- •33. Лінійні однорідні диференціальні рівняння 2-го порядку із сталими коефіцієнтами.
15 Означення похідної, її геометричний та фізичний зміст. Залежність між неперервністю та диференційованістю функцій.
Похідною ф-ї f(x) в т. назив. границя відношення приросту ф-ї до приросту аргумента при умові що , якщо ця границя існує і позначається . Геометричний зміст похідної
Нехай неперервна ф-я у=f(x), х[а, в] диференційована в т і нехай L графік цієї ф-ї. на прямій L візьмемо т і т M(x y)і проведемо січну Дотичною до кривої L в т наз пряма T що займає граничне положення січної M при (якщо пол. існує)
Нехай відповідно кути нахилу дотичної T і січної M до додатн напрямку осі о(х)
З малюнка видно що tg Перейшовши до границі при одержимо
= , (кутовий коефіцієнт дотичної до кривої), Похідною ф-ї а(х) в т кутовому коефіцієнту дотичної проведеної до графіка даної ф-ї в його точці з абсцисою
Фізичний зміст
Нехай матеріальна т рухається прямолінійно за законом S=S(t) тоді похідна від шляху по часу є миттєвою швидкістю прямолінійного руху матеріал. т в будь-якой момент часу V(t)= (t)
Друга похідна від Sпо t, або перша похідна від швид по t є прискоренням матеріальної точки
a(t)= (t) або a(t)= (t)
№17 Означення диференціалу функції. Правила знаходження диференціала.
Відомо щощо функція у=f(x), яка визначена на інтервалі [a;b] і деференційована в точці х нульове з інтервалом [a;b] то її приріст в цій точці може бути представлений у вигляді
∆ƒ( , α (∆χ) нескінченномала величина більш вищого порядку ніж нескін.мала величина ∆χ.
,Тому говорять що величина ( ) ∆χ складає головну частину приросту функції f(x) в точці ікс нульове.
Деференціалом функції у=f(x) в точці ікс нульове називається лінійна відносно ∆χ функція ( ) ∆χ що складає основну частину приросту функції в точці ікс нульове.
Позначається df(x) або dy
df(x)= (x)*∆x. ∆x≈dx
df(x)= (x)*dx
dy=y`dx
18. Теорема Ферма і Ролля.
Теорема Ферма.Нехай ф-я f(x) неперервна на інтервалі(а,в) і набуває свого найбільшого або найменшого значення у деякій точці с цього інтервалу.Тоді якщо існує похідна то вона=0 тобто f`(c)=0.
Геометричний зміст теореми Ферма.
Дотична до графіка ф-ї у=f(x) в точці що задовольняє умови теореми Ферма паралельна осі абсцис.
Теорема Роля. Якщо ф-я f(x) неперервна на відрізку(а,в) диференційована в інтервалі (а,в) і на кінцях відрізках набуває кінцевих значень f(a)=f(b), то знайдеться хоча б одна точка с з інтервалу (а,в), в якій похідна =0 ,тобто f(c)=0
Доведення
Оскільки ф-я f(x) неперервна на відрізку (а,в),то вона досягае на цьому відрізку свого найбільшого значення М,і найменшого значення м.Якщо М=м,то f(x)=const ,і f`(x)=0, в кожній точці х відрізка (а,в).Нехай М≠м, тоді хоча б одне із значень М чи м досягаеться функціею у внутрішній точці інтервалу (а,в) тому f(a)=f(b), тоді за теоремою Ферма похідна в такій точці
=о