- •1. Матриці, дії над матрицями
- •4. Розв'язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера.
- •7. Лінії 2-го порядку, загальне рівняння.Коло та його рівняння.
- •15 Означення похідної, її геометричний та фізичний зміст. Залежність між неперервністю та диференційованістю функцій.
- •18. Теорема Ферма і Ролля.
- •Геометричний зміст теореми Ферма.
- •Геометричний зміст теореми Роля
- •19. Теорема Лагранджа
- •20. Теорема Коші
- •22. Частинні похідні вищих порядків. Екстремуми ф-ії багатьох змінних
- •32. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними. Однорідні та лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку.
- •33. Лінійні однорідні диференціальні рівняння 2-го порядку із сталими коефіцієнтами.
4. Розв'язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера.
Нехай задано систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими.
(1)
Аіj (i=1,2,3 j=1,2,3) – коефіцієнти при невідомих
Х1,Х2,Х3 – невідомі
В1,В2,В3 – вільні члени
Розвязком системи 1 називаеться будь-яка сукупність значень невідомих Х1=С1, Х2=С2, Х3=С3
Підстановка яких в кожне рівняння системи перетворює ці рівняння в тотожність.
Якщо визначник системи ∆ відмінний від нуля, то система має один розвязок, який знаходиться за формулою Крамера.
Х1 =
Х2 =
Х3 =
Де ∆Х1, ∆Х2, ∆Х3 – це визначники третього порядку, одержаний із визначника системи, шляхом заміни відповідно першого, другого і третього стовпців, стовпцями із вільних членів системи.
Якщо визначник системи ∆=0, а серед визначників ∆Хі (і = 1,2,3) хоча б один відмінний від нуля, то система не має розвязків.
Якщо ∆ = ∆Х1 = ∆Х2 = ∆Х3 то система має безліч розвязків.
Система лінійних рівнянь для якої В1 = В2 = В3 =0 назив.лінійною однорідною системою рівнянь.
5.Загальне рівняння прямої та його частинні випадки.
- загальне рівняння прямої.
Нехай , тоді (ця пряма буде паралельна осі ОХ).
Якщо , то - пряма,що визначає вісь ОХ.
Нехай , тоді (ця пряма буде паралельна осі ОУ).
Якщо , то - пряма,що визначає вісь ОУ.
Нехай , тоді - пряма буде проходити через початок координат.
Нехай , а , тоді - рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом і початковою ординатою.
6. Різні види рівнянь прямої на площині.
Прямі на площині в декартових координатах можуть бути задані такими рівняннями:
- загальне рівняння прямої
- рівняння прямої,що проходить через дану точку із заданим нормальним вектором.
- нормальний вектор, - координати даної точки.
Будь-який ненульовий вектор,перпендикулярний до даної прямої,називається нормальним вектором цієї прямої.
- рівняння прямої,що проходить через дану точку із заданим напрямним вектором(канонічне рівняння прямої).
-напрямний вектор.
Будь-який ненульовий вектор,паралельний до даної прямої,називається напрямним вектором цієї прямої.
, - параметричне рівняння прямої,де t-параметр.
- рівняння прямої,що проходить через дві задані точки.
- рівняння прямої у відрізках.
відрізки,що їх відтинає пряма на координатних осях ОХ та ОУ.
- рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом і початковою ординатою.
Кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута нахилу цієї прямої до додатного напряму осі ОХ.
, -величина відрізка,що відтинається прямою на осі ОУ.
- рівняння прямої,що проходить через дану точку із заданим кутовим коефіцієнтом.
7. Лінії 2-го порядку, загальне рівняння.Коло та його рівняння.
Алгебраїчним рівнянням другого степеня називається рівняння виду (1), де A,B,C,D,E,F-дійсні числа,і хоча б одне із чисел . В протилежному випадку рівняння (1) не буде рівнянням другого степеня.
Лінії,які в декартовій системі координат визначаються алгебраїчним рівнянням другого степеня, називаються лініями другого порядку(кривими другого порядку).
Розглянемо 4 лінії другого порядку:коло,еліпс,гіпербола,парабола.
Коло та його рівняння.
Коло – множина всіх точок площини рівновіддалених від даної точки,яка називається центром кола.
Рівняння кола,з центром в точці і радіусом r,має вигляд: (2)
- рівняння кола,центр якого знаходиться на осі ОХ.
- рівняння кола,центр якого знаходиться на осі ОУ.
- рівняння кола,з центром у початку координат.
Рівняння (2) є частинним випадком загального рівняння другого степеня із змінними Х,У. Розкривши дужки в рівнянні (2) одержимо:
, де
Загальне рівняння ліній другого порядку буде визначати коло,якщо:
, ,
8. Еліпс та його канонічне рівняння.
Еліпсом назив.площина всіх точок площини,сума відстаней від кожної із яких, до двох даних точок цієї площини,які.назив. фокусами,є величина стала і більша ніж відстань між фокусами. + =1- канонічне рівняння еліпса (1)
- = F:2 Є Ох
- = F:2 є Оу
А1А2=2а а-велика піввісь
В1В2=2в в-мала піввісь
О- центр еліпса та центр симетрії еліпса
2с-фокусна відстань А1,А2,В1,В2-вершини еліпса,їх чотири
Вивчення форми еліпса за його канонічним рівнянням:
1)Координати точко О(о;о) не задовольняють канонічне рівняння еліпса, тому еліпс не проходить через початок координат.
2)Знайдемо точки перетину еліпса з осями координат
Ох:у=0, тоді =1 => - =>х= точки перетину еліпса з віссю ох:А1=(а;0) А2(-а;0) ; Оу:=0=> =1
= у=
Еліпс перитинає вісь оу: В1(0;в), В(о;-в)
3)Так як в рівнянні (1) змінні х та у входять тільки в парних степенях, то еліпс семитричний відносно осей координат, а отже відносно початку координат.
4)Знайдемочастини площини в якій розміщено еліпс:
|у| в
-а -в
Всі точки еліпса знаходяться в середині прямокутника зі сторонами х=а, х=-а, у=в,у=-в
Ексцентриситетом еліпса назив. Відношення відстані між фокусами , до довжини великої осі.
Е= = = *(а>в) F1:2 є Ох
Е= = = *(а<в) F1:2 є Оу
За величину ексцентриситета можна судити про форму еліпса.Чим більший ексцентр. Тим більше витягнутий елінс, чим менший ексциетр.тим кругліший еліпс. Якщо а=в, то Е=0 і рівняння еліпса матиме вигляд + = (коло). Коло можна розглядати, як частинний випадок еліпса, у якого півосі рівні між собою, а отже ексцинтр.=0, Е=0.
9. Гіпербола, її канонічне рівняння.
Гіперболою назив.множина точок площини, модуль різниці відстані від кожної з яких, до двох даних точок тієї ж площини, які назив.фокусами,є велчина стала і менша ніж відстань між фокусами.
F1F2=2c-фокусна відстань
F1(c;0) F2(-c;0), Нехай М(х;у) довільна точка гіперболи, F1M=r1-фокальні радіуси точки М
F2M=r2,О- центр симетрії гіперболи, - =1-(1)
,А1А2=2а-дійсна вісь гіперболи,В1В2=2в-уявна вісь гіперболи
а-дійсна вісь,в-уявна вісь
Властивості гіперболи:
1)Точка О(о;о) не задовольняє рівняння(1), тому гіпербола визначена цим рівняннями, не проходить через початок координат.
2)Знаходимо точки перетину гіперболи з осями координат:Ох:у=0=> , ,х=
Гіпербола має дві точки перетину з віссю ох:А1(а;0);А2(-а;о)-вершини гіперболи.
Оу:х=0 , Гіпербола не має точок перетину з віссю оу(ординат).
3)Так як змінні х та у входять в рівняння(1) парних степенях, то гіпербола симетрична відносно осей координат,а отже відносно початку координат .
4)Якщо х прямує до + , то у змінюється(прямує) до , якщо х прямує до - .
Прямі у= х назив.асимптотами гіперболи.
Ексцинтреситетом гіперболи назив.відношення відстані між фокусами до довжини дійсної осі.
Е=
Ексцинтр.гіперболи більше 1. Гіпербола назив.рівньосторонььою,якщо довжини півосей рівні між собою, тобто а=в, тоді рівняння рвньостороньої гіперболи матиме вигляд
Е= = = = Ексцинтреситет всіх ріносторонніх гіпербол=
1 0.Парабола та її канонічне р-ня:Параболою назив.множина точок площини,кожна із яких рівновіддалена від даної точки, що назив. Фокусом і від даної прямої, що не проходить через дану т. і назив директрисою.
Відстань від фокуса F до директриси d назив. Параметром параболи і познач-p(р>0)
F(p/2;0)
x= - p/2 р-ня директриси
M(x;y)-довільна точка параболи(NM=FM)
y²=2px-канонічне р-ня параболи з фокусом F(p/2;0)
Властивості параболи:
1.Т.О(0;0) задовольняє р-ня параболи тому парабола визначена цим р-ням проходить через початок координат.
2 .Т.я. змінна y в р-ні параболи в парному степені то парабола симетрична відносно осі ОХ
3.З р-ня параболи виразимо х:
Парабола у²=bx розміщена праворуч від осі ОУ
При зростанні х від 0 до +∞, у змінюється від 0 до ∞,тобто, точки нескінченного віддаляються,як від осі ОХ так від осі ОУ
Якщо фокус параболи розміщений ліворуч від осі ОУ, а директриса-праворуч від неї,то втіки параболи розміщені ліворуч від осі ОУ
Р-ня такої параболи має вигляд: y²= - 2рх, F(-p/2;0); x=p/2 – р-ня директриси
Якщо F(0;р/2), р-ня директриси- у= - р/2, то р-ня параболи матиме вигляд х²=2ру
Вітки цієї параболи напрямлені вгору.
Якщо F(0; - р/2)
У =р/2, то р-ня параболи матиме вигляд: х² = - 2ру
Вітки цієї параболи напрямлені вниз
№11 Нескінченно великі та нескінченно малі величини, зв'язок між ними. Властивості нескінченно малих величин.
Якщо змінна х прямує до нескінченності то її називають нескінченно великою змінною величиною.
Нескінченно малою величиною називають змінна величина границя якої =0.
Зокрема функція α(х) –називається нескінченно малою величиною при або якщо ( )=0, або (х) =0.
Власттивості нескінченно малих величин:
1) Для того щоб число А було границею функції f(x) при необхідно і достатньо щоб різниця f(x) - А була нескінченно малою величиною, тобто
f ( )=А f(x) =А+ (x), де ( )=0
2) Якщо функція f ( ) нескінченно мала величина при то функція є скінченно великою величиною при , і навпаки якщо функція є нескінченно великою величиною при то є нескінченно малою величиною.
3) Сума скінченної кількості нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.
4) Добуток обмеженої функції на нескінченно малу є величина нескінченно мала.
5) Частка від ділення нескінченно малої величини на функцію яка має відмінну від нуля границю є величина нескінченно мала.
12.Границя функції.Основні теореми про границі.
Властивості границь:
1)Границя суми(різниці) двох неперервних ф-цій=сумі(різниці) границь цих функцій
2)Границя добутку 2-ох неперервних ф-цій
3)Границя частки 2-х неперервних ф-цій=частці границь цих ф-цій при умові,що границя значення ≠0
4)Сталий множник можна винести за знак границі
5)Функція не може мати в одній точці дві різні границі
6)Границя сталої величини дорівнює цій сталій:
13. Перша і друга визначні граниш. Розкриття невизначеностей.
Границя виду називається першою визначеною границею.
При застосуванні границь, що повязані з першою визначною границею. Використовуючи такі нескінченно малі еквівалентні величини.
Границя виду
При обчисленні границь повязаних з числом е часто застосовують таке твердження:
Якщо існують границі
14. Неперервність функцій. Властивості неперервних функцій. Точки розриву.
Ф-ція буде неперервною в т. при умові:
А.ф-ція визначена в т. і в точці і в деякому околі цієї точки;
Б.існує границя
В.границя ф-ції в т. і значення ф-ції в цій т. збігаються,тобто викон.рівність:
Ф-ція буде неперервною в т. тоді і тільки тоді,коли вона визначається в деякому околі т. і
Якщо хоча б одна з умов не виконується,то ф-ція назив.розривною в т. ,а сама т. -точкою розриву ф-ції.
Розрізняють 2 види розривів:
А.якщо для ф-ції існують скінчені границі,то
при чому не всі числа рівні між собою ,то в т. ф-ція матиме розрив перого роду ,а точку назив.точкою розриву першого роду.
Величину називають стрибком ф-ції.
Б.якщо хоча б одна із сторонніх границь не існує або= ,то розрив в т. назив.розривом другого роду, а сама т. –точкою розриву 2-го роду.