Глава 17 Гетеротическая струна

Краткое введение в теорию гетеротической струны читатель может найти в следующих опубликованных материалах.

1. Бозонные струны в пространствах с компактифицирован­ ными размерностями (случай тора):

общий формализм и число обходов замкнутой струны — [69];

особые торы и симметрии Каца—Муди—[22, 23, 70, 71].

2. Гетеротическая струна— [72] и гл. 5. Замечательным свойством гетеротической струны является

включение в спектр струны янг-миллсовских симметрии (с ка­либровочной группой EsK^8 или 50(32)).

Приложение А Доказательство теоремы об отсутствии духов

Для бозонной струны, основанное на брст-методах

В своей статье Като и Огава [19] показали, что любое физи­ческое БРСТ-состояние |6>, удовлетворяющее условию Q\b) =

О, где Q — ограничение БРСТ-заряда иа данный нульмодо-вый сектор, может быть записано в виде

\Ь) = \Р)\0)_лух + й\с), (АЛ)

где \Р) — чисто поперечное ДДФ-состояние (получаемое из вакуума действием ДДФ-осцилляторов). Этот результат ис­пользован в разд. 13.2.6. Мы кратко наметим здесь идею их доказательства.

Основным моментом является то, что Q может рассматри­ваться как "возмущение" оператора

для которого отсутствие духов есть простое следствие "квартет­ного механизма'* Куго и Одзимы. Далее Като и Огава пока­зали, что теорема об отсутствии духов распространяется на

весь оператор Q.

В выражении (А.2) а+ и а+*~ операторы рождения и унич­тожения соответствующим образом нормированных изотропных мод. Они коммутируют:

_{=Л++ = 0. (А.З)}

^{Коммутационно-сопряженные операторы суть а~* и а~. (Мы}

не фиксируем здесь калибровку, но работаем в заданной ло-ренцевой системе отсчета.)

Главные качественные черты теоремы об отсутствии духов уже содержатся в более простой модели, основанной на опера­торе (А.2), поэтому мы доказываем ее только для этого слу­чая. Аналогами ДДФ-осцилляторов для выражения (А.2) в точности являются поперечные осцилляторы а¹_п% поскольку

они коммутируют с £У. Соответственно поперечное состояние

276 Приложение А

в теории, основанной на выражении (А.2), есть состояние, со­держащее лишь поперечные возбуждения.

Чтобы показать, что из £У|6) —0 следует

(А.4>

где |Я'>— поперечное состояние, содержащее лишь поперечные осцилляции а¹_п*, достаточно рассмотреть последовательно моду

за модой. Мы примем, что

) = 0 (А.5>

для nZ> М\ это должно быть верно для некоторого М, посколь­ку Nf, N_g и N ограничены величиной —а'р¹ -f- ссо* Условия (А.5), очевидно, совместны с условием Q^/|6) = 0.

Мы хотим устранить М-ю моду из |6>, т. е. преобразовать уравнения (А.5) в такие же уравнения, в которых М заменено на М— 1. Для этого запишем

I Ь) = | а) + | р) _Л;_и + I Y> &M + I 6) Л*Л (А.6>

где |а), |р>, |у> и |б> — состояния, не содержащие нулевых духовых мод (п^М) и тоже уничтожаемые операторами at и пп (п> М). Легко вычислить Q'|6>:

= п'_м_, | Ь) + ш+* | Y) - ш$ | 6) ^ -

- ш_м | у) Ti^^, (А.7)

где

Из выражения (А.7) видно, что можно положить |5)=0 а затем | р) = 0 путем добавления к j Ь> соответствующего со стояния вида Q|x> (выбираем ш^|у^/) |б) и т д) Сдела

стояния вида Q|%) (выбираем ia+_[\Y) = \u) и т. д.). Сделав

это, из Q^/|6>=0 находим, что ам\ а) = ам\ Y) — О, так что фак* тически, добавляя снова к \Ь) соответствующее состояние вида ^|%>> можно получить даже независимость | а) от а^*, т. е. а^\а) = 0¹К При выполнении этих условий дальнейшее приме­нение БРСТ-оператора дает

Q^_i | y) = 0, й'м-i I а) + ам \ у) = О,

откуда, в частности, следует, что |Y>= 0 (в |а> не содержится Это доказывает соотношение (А.4) и теорему об отсут-

*) Заметим, что оператор а^* является коммутационно-сопряженным оператору а*^. Чтобы удовлетворить условию a^|a) = 0, подбирают соот­ветствующим образом | у) в | зс) ^ет I Y) &м*

Доказательство теоремы об отсутствии духов 277

ствии духов (т. е. об отсутствии состояний с отрицательной нор­мой) для простого квадратичного оператора (А.2), поскольку поперечные состояния образуют положительно определенное подпространство.

Механизм, с помощью которого могут быть устранены духи (для квадратичного в фоковском пространстве БРСТ-заряда), называется квартетным механизмом Куго — Одзимы [32]. Его можно сравнить с описанным в работе [31] аналогичным меха­низмом для систем, определенных в (с/, р) -представлении.

Квартетный механизм устраняет не только духи ц_п и <Р_П1 но также и изотропные осцилляторы а+ и а~. Иногда удобно не

полностью фиксировать БРСТ-калибровку, как это делалось выше, а сохранить возможность добавлять нулевые состояния, порождаемые оператором а+*. Это делается путем наложения

на \by только условия духового вакуума;

(А.8а)

Это условие согласуется с условием Qf\ b) = 0, если

^ 0 (/i>0). (A.86)

Чисто поперечные состояния, очевидно, удовлетворяют системе (А.8), а также калибровочному условию

а~\Ь) = 0 для п>0. (А.9)

Наконец, чтобы провести сравнение с методом световой калиб­ровки, операторы а+ flfl_n, используемые в этом приложении,

следует заменить на о~ и а+ соответственно.

Упражнение. Какие преобразования \b}-+\b}-\- Q'\c} сохра­няют условия (А.8)?

^{Приложение Б}

Матрицы Y в десяти измерениях

Мы кратко суммируем здесь представляющие особенный инте­рес в настоящем контексте свойства ^-матриц в десяти измере­ниях. Матрицы у удовлетворяют соотношению

У а Ув + УвУа = %Чав (БЛ)

и выбираются вещественными (майорановское представление). Девять пространственных матриц уь симметричны, а матрица То = С (матрица зарядового сопряжения) антисимметрична. Матрицы Сул симметричны.

Матрица тп —То ••• Тэ вещественна и симметрична, так что наложение вейлевского условия киральности

(l±Y.i)e=O (Б.2)

совместимо с условием вещественности (майорановским усло­вием). Эти условия определяют майорана-вейлевские спиноры.

Б.1. Свойства симметрии

Базис матриц 32X 32 задается (32)² матрицами В_А:

{Л Уау Уав* Уавс> Уавсэ* Уавсие* УавсиУп* УавсУпг

УавУп, УаУп, Yii}, А < В < С..., (Б.З)

tr В_АВ* = 3261 (-)^Е\ (Б.4)

^{удовлетворяющими условию}

_{Мы определили}

В уравнении (Б.4) фаза (—)^еА определяется следующим об­разом:

= 0 для /, у_А, y_ABcD, YлвcD£. УавсоУп* УавсУп, Yn,

е_А=1 Для y_ABt y_ABCr УавУн* YY;

^{она такова, что ВАВА = (—)еА/ (без суммирования по Л)}

Матрицы у в десяти измерениях 279

Матрицы СВ_А имеют определенные свойства симметрии, ко­торые легко выводятся из их определения. Эти свойства обус­ловливают следующие тождества:

= ХУлвсоЪ, ^УавсоеХ = ~ ХУавсие^ (Б.8) ^УавсоУпХ = — ХУавсоУп^у ^УавсУпХ = ХУавсУп^,

4>YnX = ~

где ф и х — (антикоммутирующие) майорановские спиноры, а

■ф обозначает i|>^rYo-

Если ij) н ]( являются также вейлевскими спинорами одной киральности, то единственными ненулевыми билинейными ком­бинациями, как легко видеть из соотношений (Б.8), являются

№аХ, ^УавсХ и ^УавсиеХ- Если же ф и % имеют противополож­ные ориентации, то отличными от нуля могут быть лишь чет­ные билинейные инварианты ф/, tyy_AB% и ^

Б.2. Преобразования Фирца

Поскольку матрицы В образуют базис, любая матрица М типа 32 X 32 может быть представлена в виде

. (Б.9)

Коэффициенты а^А легко найти с помощью соотношения (Б.4):

а^А - --L (-)^SA tr

Рассмотрим теперь четыре спинора: Я, х> 'Ф ^и Ф- Тождества Фирца позволяют выразить выражение

где М и А/—матрицы_ 32X32, через 32² "фундаментальных" билинейных функций -^В^х- Для этого нужно лишь заметить, что числа M^ljN^ki для фиксированных i и / можно рассматривать как компоненты матрицы 32 X 32; поэтому

(БЛ1а)

280 Приложение Б

где af* определяются выражением

Это дает

ХМ% • -фЛ^ = — -q^- / (—) ^х<кМВ^хЫф ■ -фБлХ' (Б.12)

А

где знак минус появляется вследствие антикоммутативности

и X¹-

Преобразование Фирца (Б.12) для майорана-вейлевских

спиноров с одинаковой киральностью играет огромную роль при выводе ковариантной формы действия суперструны. Получаем

i (Шу^АВСА^тф -

±^ (Б.13)

где принято, что (1—уц)Я = 0 = (1 — Уи)%⁼= •••> ^и суммиро­вание снова ограничено условием А <С В <с С ... .

Если положить Х = "фь М~у^А, х = гр2» г]? = a, N = y_A и ^{= <}$з, то соотношение (Б. 13) сводится к виду

^

Это соотношение может быть преобразовано с помощью тож­деств

(Б.15а)

(Б.156)

(Б.15В)

которые легко выводятся из антикоммутационных соотношений для у-матриц. (Аналогичные тождества для четных у^А*'■'" ^k

имеют вид yV^BYc = 6_Y^AB и y^cy^ABDEy_c^2y^ABDE'"). Тождества (Б.15) позволяют преобразовать соотношение (Б.14) к виду

^ (Б. 16)

Матрицы у в десяти измерениях 281

Наконец, антисимметризуем полностью последнее соотноше­ние по if)i, ip₂ и 1|?з. Поскольку а произвольно, это дает

что является тождеством, используемым в тексте для установ­ления замкнутости 3-форм Q₃ (разд. 16.1.2). Член (16.1.2.6), найденный там, а именно

(dQy^A Л ^Э¹) Л (dB^l Л

¹ДЧ¹^ Л dx* Л dx^v Л

обращается в нуль, поскольку действие внешнего произведения dx^K Л dx^ Л dx^v Л dx? состоит в антисимметризации спиноров, как в уравнении (Б.17).

Тождество (Б.17), как было установлено в работе [73], иг­рает ключевую роль при исследовании суперянг-миллсовой тео­рии.

^{Приложение В}