- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
Связи первого класса в общем случае соответствуют калибровочной инвариантности. В этом разделе это соответствие будет продемонстрировано явно, и мы покажем, что появление неопределенных функций от т в уравнениях Гамильтона связано с возможностью провести произвольные калибровочные преобразования по ходу эволюции системы- В отсутствие условий, фиксирующих калибровку, такой произвол, конечно, должен быть.
Связь р = 0, или, точнее, у up = 0, генерирует преобразования Вейля канонических переменных. В самом деле, получаем
И = [yii И, J Ц И Рп (О Ун И do'] = ix (о) YU И,
6рп (а) =—р (о) р" (а). (12.2.2.1)
Для остальных канонических переменных у1 имеем
[
У1.
(где р =pnY Вейлевскими преобразованиями величине уц
можно придать любое (положительное) значение; таким образом, она становится произвольной функцией времени. Это и объясняет» почему в гамильтониане связь рп = 0 умножена на неопределенную функцию.
Пара канонически сопряженных величин (уи,ри) не соответствует никакой реальной степени свободы (уи произвольно, рп должно быть равно нулю). Более того, эта пара не появляется в выражениях для Ж или Ж\. Следовательно, эти вели-
Струна Намбу — Гото; классический анализ 12t
чины вместе с лагранжевым множителем р, можно просто опустить. Это не приведет к модификации уравнений движения для других вейль-инвариантных переменных.
Остающиеся связи Ж = 0, Ж{ = 0, pN = 0 и /v = ^ соответствуют другой калибровочной инвариантности струны, а именно репараметризационной инвариантности. Из уравнений
(12.2.2.2)
следует, что N и N1 являются произвольными, так как их можно изменять как угодно подходящим выбором А, и АЛ Этого и следовало ожидать, так как функции хода N и сдвига N1 описывают рассечение двумерной поверхности эволюции струны, которое получается при пересечении ее с поверхностями х = const (рис. 12.2). Поскольку это рассечение не является ка-либровочно-инвариантным в общековариантной теории, функции, которые характеризуют это рассечение, не могут быть определены из уравнений движений.
Кроме того, канонически сопряженные импульсы pN и pNl
должны быть равны нулю, поэтому переменные фазового пространства N, pN, Nl и pNl не отвечают никаким физическим
степеням свободы. Эта ситуация очень похожа на ту, которая была с переменными -уи и Рп- Тем не менее в данном случае нужно сохранить в действии переменные N и N\ так как они играют роль лагранжевых множителей и варьирование по ним приводит к условиям связи на супергамильтониан и суперимпульс Ж —0 и Ж\=0. Следовательно, можно забыть только о переменных pN, pN1, Я и Я1; тогда упрощенное действие принимает вид
\(\) (12.2.2.3)
= ^а (N2% + Nl3&{). (12.2.2.4)
Легко установить, что уравнения движения, полученные из действия (12.2.2.3), полностью эквивалентны уравнениям, которые следуют из действия Намбу — Гото.
Нельзя не указать на параллели между каноническими формулировками двух теорий: струнной модели (с действием (12.2.2.3)) и теории Эйнштейна (см. работу Хансона и др. [13], а также цитируемую там литературу). В обоих случаях получается, что гамильтониан равен нулю в слабом смысле и имеет структуру (12.2.2.4) с произвольными функциями хода и сдвига. Эти функции умножаются на связи Ж = 0 и Ж\ = 0, которые генерируют изменения канонических переменных при произвольных деформациях линии (гиперповерхности) т == const-