14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны

Замкнутая струна снова по существу является «прямым произ­ведением» двух открытых струн. В этом случае определяются два набора «связей для открытой струны», которые суть L_nr

~L_n> Fm, F_m (если Г? (а) и Г* (а) периодичны), L_n, L_n, G_r, F_m (если rf (a) периодичны, а Г2 (a) антипериодичны) или L_n, L_nr

G_r, G_r (если как rf(a), так и Г^(а) антипериодичны).

В выражениях для связей, соответствующих случаю замкну­той струны, импульс р^Л заменяется на р^л/2, а осцилляторы

216 Глава 14

^a>i> ^п ^и ^i заменяются на право- и левобегущие с*, с*, b£_y

К г* г;?-

Правый и левый секторы связаны друг с другом лишь по­средством нульмодовых связей.

14.3.5. Супералгебра Вирасоро

В ковариантном методе квантования все динамические величи­ны рассматриваются как операторы в псевдогильбертовом про­странстве. Кроме прежних бозонных операторов имеются фер-мионные операторы рождения и уничтожения Ь^А* и Ь^А, удов­летворяющие соотношениям ¹)

[b^A, bf] = r\^A%_tS (г, 5>0) (14.3.5.1)

в модели Неве—Шварца. Вакуум уничтожается всеми b_r (г > 0):

br\O_t p) = 0 (г>0). (14.3.5.2)

В модели Рамона аналогичную роль играют ненулевые моды

т'

[^Гт> ^Тп*\ ^{= 2г}1^ЛВбт, п (^Щ' ^П > °)> (14.3.5.3)

Г^|0, р) = 0 (т>0). (14.3.5.4)

Следует рассмотреть также нулевые моды Г^. Они образуют алгебру Клиффорда:

рЛрВ _| рву А ОухАВ {] А ^ Ч К\

Следовательно, их можно отождествить с Г-матрицами в d из­мерениях.

Отсюда видно, что основное состояние в модели Рамона (и все возбужденные состояния) должно принадлежать простран­ству представления Г-матриц. Соответственно оно имеет спин 1/2 (спинор основного состояния). В d измерениях кратность вырождения основного состояния равна 2^d/22). Возбужденные состояния также имеют полуцелый спин.

*) В соотношениях (14.3.5.1) скобки обозначают антикоммутатор, соот­ветствующий фермиевским переменным.

²) Фермиевские осцилляторы антикоммутируют с Г_о. Если d четно, можно

определить новые фермиевские осцилляторы Гд Г_т, коммутирующие

с Г-матрицами. (Здесь Г₀ ^{+ 1} = ГдГд... Гд"¹.) Далее видно, что рассматри­ваемое псевдогильбертово пространство есть прямое произведение фоков-ского пространства, генерируемого бозонными и фермнонными осцилляторами,

на гильбертово пространство нулевых мод Х_о, р , и на пространство пред­ставления алгебры Клиффорда.

Фермиониая струна: классический анализ 217

Построенное здесь гильбертово пространство содержит много состояний с отрицательной нормой, порождаемых временными компонентами осцилляторов. Кроме того, из соотношения

(14.3.5.5) следует, что (Г^)² = — 1, что согласуется с условием

(rj) =T°₀ лишь в том случае, когда внутреннее произведение не положительно определено.

Устранение состояний с отрицательной нормой является центральным вопросом в методе ковариантного квантования. В данном разделе он не рассматривается. Вместо этого мы по­кажем здесь, что классическая (супер)алгебра в квантовой ме­ханике модифицируется в результате появления с-числового аномального члена.

Супероператоры Вирасоро не зависят от неоднозначности упорядочения за исключением оператора L_o, для которого раз­личные способы упорядочения могут приводить к двум значе­ниям L_o, отличающимся на с-число. Поэтому мы вводим в кван­товый оператор L_o неопределенную пока константу а₀:

1о^Л->^о —«о, (14.3.5.6)

где Lo — нормально упорядоченное выражение.

Вычисление центрального заряда в супералгебре Вирасоро производится точно так же, как в бозонном случае. Поэтому мы лишь воспроизводим результат. Модифицированные (градуиро­ванные) коммутационные соотношения имеют вид

, L_n] = (я — m) L_n+m + ^ (я³ — л) ^б«, -т» (14.3.5.7а)

[G_r, G_s]^2L_r+s + ^(r*-\)d_r,__s \(14.3.5.76) для модели Неве — Шварца и

[L_n, L_m] = (n — m)L_n+m + Yⁿ³⁶n,->n> (14.3.5.8a)

[F_nt F_m] = 2L_n+m + 4 n4_ni __m (14.3.5.86)

^{+m 4}

для модели Рамона. Коммутаторы [L_nt G_r] и [L_nt F_m] не содер­жат аномальных членов.

Следует заметить, что в модели Рамона нулевая мода Г^

тоже дает вклад в аномалию (условие Г^-Г^ = 0 не выпол­няется на квантовом уровне). Этот вклад нулевой моды может быть выделен путем принятия антисимметричного упорядоче­ния для произведений матриц £

218 Глава Н

Благодаря центральному заряду в квантовой теории можно наложить лишь "половину" связей:

(L_o - Оо) №> = 0, £_п|ф>=-=0 (л>0), (14.3.5.9а) = 0 (5>0) или F_a\$} = 0 (n>0). (14.3.5.96)

Упражнения

1. Вычислите явно центральный заряд в соотношениях (14.3.5.7) и (14.3.5.8).

2. Покажите, что путем прибавления к L_o соответствующей константы можно привести соотношение (14.3.5.8) к виду (14.3.5.7).