Экзаменационный билет № 10

1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов (уравнение Клаузиуса, уравнение Больцмана). Закон Дальтона. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Внутренняя энергия идеального газа. Закон Дюлонга и Пти. Закон Неймана-Коппа. Классическая теория теплоемкости. Уравнение Роберта-Майера. Недостатки классической теории теплоемкости.

2. Двойственная корпускулярно-волновая природа частиц вещества. Гипотеза де Бройля. Экспериментальное подтверждение теории де Бройля. Опыты Дэвиссона и Джермера

1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов (уравнение Клаузиуса, уравнение Больцмана). Закон Дальтона. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Внутренняя энергия идеального газа. Закон Дюлонга и Пти. Закон Неймана-Коппа. Классическая теория теплоемкости. Уравнение Роберта-Майера. Недостатки классической теории теплоемкости.

Рассмотрим одноатомный идеальный газ. молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку ΔS и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m₀ v—(—m₀ v) = 2m₀ v, где m₀ — масса молекулы, v — ее скорость. За время Δt площадки ΔS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием ΔS и высотой vΔt (рис.). Число этих молекул равно nΔSvΔt (n— концентрация молекул).Необходимо учитывать, что реально молекулы движутся к площадке ΔS под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем 1/6 движется вдоль данного направления в одну сторону, 1/6 — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку ΔS будет ¹/₆ nΔSvΔt. При столкновении с площадкой эти молекул передадут ей импульс. Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда, (1).Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v_1,v₂, ..., v_N, то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость

(2), характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (1) с учетом (2) примет вид Выражение (3) называется основным уравнением молекулярно-кннетнческой теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.Учитывая, что n=N/V, получим

(5)

где Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Так как масса газа m=Nm₀, то уравнение (4) можно переписать в виде

Для одного моля газа т=М(М — молярная масса), поэтому

г де V_m — молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона — Менделеева, pV_m=RT. Т.о.

Так как М=m₀N_A, где то — масса одной молекулы, a N_A — постоянная Авогадро, то из уравнения (6) следует, что (7), где k=R/Na — постоянная Больцмана. Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеаль­ного газа

(8) пропорциональна термодинамической тем­пературе и зависит только от нее. при T=0 <ε₀>=0, т. е. при 0 К прекращается поступательное движение молекул газа, его давление равно нулю. термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа.Уравнение Клаузиуса. Уравнение Больцмана. Уравнение Больцмана в уравнении Клаузиуса.

З акон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений p₁, p₂…p_n входящих в нее газов:p=p₁+p₂+….+p_n, Парциальное давление – давление, которое производил бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре. Закон равнораспределения энергии по степеням свободы.Число степеней свободы — наименьшее число ли­нейно независимых координат, которые полностью определяют положение тела в пространстве. Число Iстепеней свободы материальной точки в пространстве i = 3. Закон равного распределения энергии по степеням свободы. На одну степень свободы лю­бого вида движения приходится количество энергии, равное kt/2 где ε₀ — средняя энергия на одну ст. свободы.

Если молекула обладает i степенями свободы, то средняя энергия молекулы ε

где i — число степеней свободы, к — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура. Внутренняя энергия газа, масса которого m, равна: где N —число молекул, m — масса газа, М — молярная масса, R — универсальная газовая постоянная.

Внутренняя энергия идеального газа Вн. Эн. включает в себя энергию всех видов внутреннего движения и энергию взаимодей­ствия всех частиц. Вн. эн.многоатом­ного газа состоит из:

1. Кинетической энергии теплового поступатель­ного и вращательного движения молекул.

2. Кинетической и потенциальной энергии колеба­ний атомов в молекуле.

3. Потенциальной энергии, обусловленной межмо­лекулярными взаимодействиями.

4. Энергии электронных оболочек атомов и ионов.

5. Кинетической и потенциальной энергии взаимо­действия нуклонов в ядрах атомов.

Т еплоемкость твердых тел. Закон Дюлонга и Пти.В качестве модели твердого тела рассмотрим правильно построенную кристалличес­кую решетку, в узлах которой частицы (атомы, ионы, молекулы), принимаемые за материальные точки, колеблются около своих положений равновесия — узлов решетки — в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Таким образом, каждой состав­ляющей кристаллическую решетку частице приписывается три колебательных степени свободы, каждая из которых, согласно закону равнораспределения энергии по степеням свободы, обладает энергией кТ. Внутренняя энергия моля твердого тела

г де N_А — постоянная Авогадро; N_А k=R (R — молярная газовая постоянная). Молярная теплоемкость твердого тела

т.е. молярная (атомная) теплоемкость химически простых тел в кристаллическом состоянии одинакова (равна 3R) и не зависит от температуры. закон носит название закона Дюлонга и Пти.

Если твердое тело является химическим соединением, то число частиц в моле не равно постоянной Авогадро, а равно nN_A, где п — число атомов в молекуле (для NaCl число частиц в моле равно 2N_A, так, в одном моле NaCl содержится N_A атомов Na и N_A атомов С1). Таким образом, молярная теплоемкость твердых химических соединений Дж/(мольК),т. е. равна сумме атомных теплоемкостей элементов, составляющих это соединение.

Классическая теория теплоемкости. Уравнение Роберта-Майера. Недостатки классической теории теплоемкости.Удельная теплоемкость вещества — величина, равная количеству теплоты, необходи­мому для нагревания 1 кг вещества на 1 К: Единица удельной теплоемкости — джоуль на килограмм-кельвин (Дж/(кг • К)).

Молярная теплоемкость — величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моль вещества на 1 К: (1)где v=m/M — количество вещества.

Единица молярной теплоемкости — джоуль на моль-кельвин (Дж/(моль; К)). Удельная теплоемкость с связана с молярной С_ш соотношением (2), где М — молярная масса вещества.

Различают теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении.Запишем выражение первого начала термодинамики для 1 моль газа с учетом формул и (1):

(3). Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа внешних сил равна нулю и сообщаемая газу извне теплота идет только на увеличение его внутренней энергии: (4), т. е. молярная теплоемкость газа при постоянном объеме Сv равна изменению внутренней энергии 1 моль газа при повышении его температуры на 1 К. Согласно формуле dU_m=-i/2RdT, тогда

(5) Если газ нагревается при постоянном давлении, то выражение (3) можно записать в виде Учитывая, что не зависит от вида процесса (внутренняя энергия идеального газа не зависит от р и от К, а определяется T) и всегда равна

Сv (см. (4)), и дифференцируя уравнение Клапейрона — Менделеева pV_m=RT по Т (р=const), получаем

(6). - уравнение Майера; оно показывает, что С_р всегда больше Сv на величину молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, что при нагрева­нии газа при постоянном давлении требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа, так как постоянство давления обеспечивается увеличением объема газа. Использовав (5), выражение (6) можно записать в виде

(7).При рассмотрении термодинамических процессов важно знать характерное для каждого газа отношение С_р к Сv :

(8)

Из формул (5) и (7) следует, что молярные теплоемкости определяются лишь числом степеней свободы и не зависят от температуры. Это утверждение справедливо в довольно широком интервале температур лишь для одноатомных газов, но молекула двухатомного газа обладает тремя поступательными, двумя вращательными и одной колебательной степенями свободы.По закону равномерного распределения энергии по степеням свободы, для комнатных температур Cv=⁷/₂R. Из качественной экспериментальной зависимости молярной теплоемкости Сv водорода следует, что Сv зависит от температуры: при низкой температуре C_V=³/₂ R, при комнатной — C_V=^SI₂R (вместо расчетных ⁷/₂ R) и при очень высокой — Сv= ⁷/₂ R. Это можно объяснить, предположив, что при низких температурах наблюдается только поступательное движение молекул, при комнатных — добавляется их вращение, а при высоких — к этим двум видам движения добавляются еще колебания молекул.

при вычислении теплоемкости надо учитывать квантование энергии вращения и колебаний молекул (возможны не любые вращательные и колебательные энергии, а лишь определенный дискретный ряд значений энергий). Если энергия теплового движения недостаточна, например, для возбуждения колебаний, то эти колебания не вносят своего вклада в теплоемкость (соответствующая степень свободы «замораживается» — к ней неприменим закон равнораспределения энергии). Этим объясняется, что теплоемкость моля двухатомного газа — водорода — при комнатной температуре равна ⁵/₂ R вме­сто 7/2 R. Аналогично можно объяснить уменьшение теплоемкости при низкой тем­пературе («замораживаются» вращательные степени свободы) и увеличение при высо­кой («возбуждаются» колебательные степени свободы).

2. Двойственная корпускулярно-волновая природа частиц вещества. Гипотеза де Бройля. Экспериментальное подтверждение теории де Бройля. Опыты Дэвиссона и Джермера.

Г

ипотеза де-Бройля заключается в том, что дуализм не является особенностью только оптических явлений, а имеет универсальное значение. по корпускулярной теории, по волновой. В итоге получим , откуда , m – масса фотона. , откуда (формула де-Бройля длины волны электрона). Экспериментальным подтверждением теории де-Бройля служат опыты Девиссона и Джермера (1927) – рис. 22.1.1, где 1 – электронная пушка, 2 – приёмник электронов, 3 – гальванометр (измеряет слабые электрические токи), 4 – пластинка из никеля. С классической точки зрения следовало бы ожидать, что электроны будут рассеиваться по законам геометрической оптики. Опыт же показал чёткую зависимость числа электронов от их кинетической энергии (рис. 22.1.2). Первый максимум при энергии электрона 54 эВ, условие максимума отражённых электронов подчиняется условиям: , где n – порядок спектра. Эта же формула справедлива для дифракции рентгеновских лучей на кристаллах. Вывод: электроны можно рассматривать как волны, корпускулярность же подразумевает неделимость электронов. Волновые свойства частиц наиболее чётко проявляются, когда энергия и импульс сопоставимы с h. В случае макротел волновыми свойствами можно пренебречь.

<

1.- электроная пушка;

2.- приемник е^- ;

3.- пластина Ni.

54 108 162 Ек,эВ

<Вторая версия того же>>

В начале xx века была признана двойственная корпускулярно-волновая природа света.

Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что дуализм не является свойством только оптических явлений, а имеет универсальный смысл.

Корпускулярная точка зрения Е=mc² .Волновая точка зрения Е=h . mc²=h , m=h/c²- масса фотона

импульс р=mc= h/c длина волны де Бройля   h/р Ек = mc²2= р²/2m; p=2m Ек , =h/2m Ек = h/2me = 12,2510^-10, (м).

Экспериментальное подтверждение формулы де Бройля: опыты Дэвисона и Джеремера (1927г.).

С классической точки зрения ожидается, что е ^- будут рассеиваться по законам геометрической оптики.

Однако устанавливается четкая зависимость числа отраженных электронов от их кинетической энергии.