Приклад 4.3. Вклади в однаковій сумі 100 грн. Здійснюються на депозитний рахунок наприкінці кожно­го року під 5 % річних протягом п'яти років. Скільки грошей бу­де на рахунку наприкінці п'ятого року?

Арифметичне рішення прикладу зведемо в табл. 4.3.

Таблиця 4.3

РОЗРАХУНОК МАЙБУТНЬОЇ ВАРТОСТІ ЗВИЧАЙНОГО АНУЇТЕТУ, гр. од.

Рік	Сума вкладу на початок року	Сума приросту вкла­ду (гр. 2 • 5 %)	Сума вкладу на кінець року (гр. 2 + гр. 3+ 100 гр. од.)
Гр. І	Гр.2	Гр.З	Гр.4
1	0	0	100,0
2	100,0	5,00	205,0
3	205,0	10,25	315,25
4	315,25	15,76	431,01
5	431,01	21,55	552,56
Усього	X	52,56	X

Ураховуючи, що умови ануїтету передбачають рівність та рівномірність окремих грошових потоків РМТ (у нашому ви­падку сума вкладів), фінансово-математична модель оцінки майбутньої вартості ануїтету може бути відображена у такий спосіб:

FVA_n = РМТ ((1 + i) ⁿ) / i (4.9)

де FVA_n — майбутня вартість ануїтету;

РМТ — абсолютна величина періодичних рівновеликих ви­плат (ануїтетів);

п — кількість інтервалів у плановому періоді;

і — процентна ставка (виражена десятковим дробом);

Визначення майбутньої вартості ануїтетів за допомогою таблиць передбачає використання фактору процента майбут­ньої вартості ануїтетів (FVIFA_i,n) за п періодів з i-процентною ставкою.

(FVIFA_i,n) = ((1 + i) ⁿ - 1) / i

Значення FVIFA в таблиці А-2 вже підраховано для різних комбінацій i та п. Для того щоб обчислити майбутню вартість ануїтетів за допомогою таблиць, використовується формула:

FVA_n = РМТ • (FVIFA_in) (4.10)

У таблиці А-2 на перехрещенні 5 років та 5 % знаходимо зна­чення FVIFA = 5,5256.

При використанні формули (4.10) визначимо майбутню вар­тість ануїтетів у 100 гр. од. для 5 років при 5 % ставці.

100 грн х (5,5256) = 552,56 гр. од.

Слід звернути увагу, що формула (4.10) стосується звичайного (відстроченого) ануїтету (ренти).

Проте якщо має місце авансовий ануїтет (рента), порядок кі­лькісної оцінки майбутньої вартості грошового потоку дещо змі­нюється.

Приклад 4.4. Вклади в однаковій сумі 100 гр. Од. Здійснються на депозитний рахунок на початку кожного року під 5 % річних протягом п'яти років. Скільки грошей буде на рахунку наприкінці п'ятого року?

Арифметичний розв'язок задачі зведемо в таблицю (табл. 4.4).

РОЗРАХУНОК МАЙБУТНЬОЇ ВАРТОСТІ АВАНСОВОГО АНУЇТЕТУ, гр. од.

Рік	Сума вкладу на початок року	Сума приросту вкладу (гр. 2 • 5 %)	Сума вкладу на кінець року (гр. 2 + гр. 3)
Гр.1	Гр.2	Гр.З	Гр.4
1	100	5,00	105,0
2	205,0	10,25	215,25
3	315,25	15,76	331,01
4	431,01	21,55	452,56
5	552,56	27,63	580,19
Усього	X	80,19	X

Необхідність коригування фінансово-математичної моделі оцінки відстроченої ренти обумовлена відмінностями у порядку руху грошових коштів, що наочно можна побачити з таблиці. Так, для звичайного ануїтету грошові потоки виникають по за­кінченні першого інтервалу періоду, який аналізується (саме то­му звичайний ануїтет часто називають відстроченим, постнумерандо).

Для авансового ануїтету характерним є рух грошових коштів уже починаючи з першого інтервалу планового періоду. Згадані відмінності обумовлюють різницю між відстроченим та авансо­вим ануїтетом на один інтервал, що і закладено у фінансово-математичну модель оцінки майбутньої вартості авансового ануї­тету.

Для розрахунку майбутньої вартості авансового ануїтету застосовується формула:

FVA _{n (аванс)}= РMT • ((1 + i)ⁿ) / i • (1 + i) = PMT • [(1 + i) ⁿ⁺¹-1) / i - 1] (4.11)

Використовуючи наведену формулу, розрахунок майбутньої вартості авансового ануїтету в наведеному прикладі 4.4 можна записати у такий спосіб:

FVA_{n (аванс)}= 552,56 • (1 + 0,05) = 552,56 - 1,05 = 580,19 гр. од.

Нарахування процентів за авансового ануїтету здійснюється раніше, тому більше заробляється процентів (майбутня вартість авансових ануїтетів більша — 580,19 гр. од. проти 552,56 гр. од. за звичайного ануїтету).

Приклад 4.5 Підприємцеві запропонували варіанти вкладання грошей у розмірі 500 гр. од. під 5 % (за умови нарахування складних процентів):

1) одноразово на п'ять років;

2) поступово рівними частками протягом п'яти років з нарахуванням процентів у кінці кожного року (постнумерандо);

3) поступово рівними частками протягом п'яти років з нарахуванням процентів на початку кожного року (пренумерандо).

Розв 'язок

1) Ідеться про просте нарощення вкладу в розмірі 500 гр. од. або про просте компаундування.

Застосовуємо формулу (4.8) та значення таблиці А-1:

FV= 500 гр. од. • FVIF_5%,5 = 500 гр. од • 1,2763 = 638,15 гр. од. Сума зароблених процентів за таких умов становитиме:

638,15-500= 138,15 гр. од.

2) Ідеться про компаундування звичайних ануїтетів (ренти) у розмірі 100 гр. од. щорічно протягом п'яти років. Розв'язок при­кладу наведено в табл. 4.3.

Сума зароблених процентів за таких умов становитиме:

552,56 - 500 = 52,56 гр. од.

3) Мова йде про компаундування авансових ануїтетів (ренти) у розмірі 100 гр. од. щорічно протягом п'яти років. Розв'язок прикладу наведено в табл. 4.4.

Сума зароблених процентів за таких умов становитиме:

580,19-500 = 80,19 гр. од.

Висновки

Наведені розрахунки свідчать, що п'ять вкладів по 100 гр. од. кожного року протягом п'яти років є менш привабливим для підприємця проектом з погляду прибутковості інвестицій.

За одноразового вкладення 500 гр. од. на п'ять років зиск становить 138,15 гр. од. проти вкладання 100 гр. од. щорічно протягом п'яти років та отримання прибутку на суму 80,19 гр. од. за нарахування процентів пренумерандо або отримання прибутку на суму 52,56 гр. од. за умови нарахування процентів постнумерандо.

Приклад 4.6. Яку суму грошей повинен покласти підприємець у банк на депозитний рахунок у поточний момент часу, якщо за процентної ставки 5 % за умови нарахуван­ня складного процента через п'ять років він планує отримати 127,63 гр. од.?

Розв'язок:

Ви­значимо суму, яку необхідно покласти на депозит сьогодні:

PV = FV / (1 + i)ⁿ = FV • (1/1+i)ⁿ

PV = 127 • 1 / (1 + 0,05)⁵ = 127,0 • 0,7835 = 100 гр.од.

Дисконтування грошових потоків застосовується також за не­обхідності оцінювання поточної вартості цінних паперів, об'єктів нерухомості, що плануються до продажу у майбутньому.

Приклад 4.7. Підприємець має цінний папір, який надає йому право на отримання після двох років 1000 гр. од. Річна вартість грошей на ринку капіталу сьогодні становить 16 %. Скільки коштує цей цінний папір сьогодні?

Розв 'язок:

PV = FV / (1 + i)ⁿ

PV = 1000 / (1 + 0,16) ⁿ = 1000 • 0,7432 = 743,2 гр.од.

Різноплановість руху грошових коштів у результаті підприєм­ницької діяльності створює ситуацію, коли застосування просто­го дисконтування для оцінки приведеної вартості майбутніх гро­шових потоків є недостатнім. Передусім це стосується оцінки грошових потоків, які виникають протягом усього періоду із пев­ною періодичністю, тобто ануїтетів (ренти).

Якщо припустити, що абсолютна величина грошових потоків протягом періоду, який аналізується, однакова і постійна, тобто умови ануїтету передбачають рівність окремих грошових пото­ків, формула теперішньої вартості ануїтету матиме вигляд:

PVA_n = PMT • [ ((1 + i)ⁿ – 1) / i (1 + i)ⁿ ]

де PVA_n —теперішня вартість ануїтету;

РМТ — абсолютна величина періодичних рівновеликих ви­плат (ануїтетів);

п — кількість інтервалів у плановому періоді;

і — ставка дисконтування (виражена десятковим дробом).

Різниця в дужках рівняння (4.15) називається фактором про­цента поточної вартості ануїтетів (PVIFA_i,n). Фактор процента по­точної вартості ренти — це показник ануїтетів за n-ну кількість періодів, дисконтований на і процента. У фінансових таблицях А-4 обчислено значення цього показника для різних n та і.

PVIFA_n = (1 / i ) / [1 / i (1 + i)ⁿ ]

PVA_{n =} РМТ • PVIFA_n

Фінансово-математична модель визначення теперішньої вар­тості ануїтетів застосовується для обчислення постійних рівних виплат з погашення кредиту, орендних платежів за користування активами підприємства, для порівняння теперішньої вартості цінних паперів, які дисконтуються під різні процентні ставки та приносять власникові певний щорічний дохід, для визначення суми, яку необхідно покласти на депозит за умови вилучення з рахунка кожного року однакової суми грошей.

Приклад 4.8. Яку суму підприємець має покласти на депозит сьогодні під 0% річних, щоб протягом п’яти років щорічно знімати з рахунка по 300 гр. од.?

Розв ‘язок:

Ідеться про дисконтування ануїтетів на суму 300 гр. од. протя­гом п'яти років. Скористаємося формулою визначення теперіш­ньої вартості ануїтетів (4.15), (4.16) та даними таблиці А-4.

PVA_n = РМТ• PVIFA_10%,5 = 300 гр. од.• 3,7908 = 1137 гр. од.

За результатами застосування табличного способу вирішення задачі маємо, що вклад у розмірі 1137 гр. од. дає змогу інвестору протягом п'яти років у кінці кожного року знімати з рахунка по 300 гр. од. за умови нарахування банком складного процента у розмірі 10 % річних. Перевіримо правильність отриманого резуль­тату арифметично, звівши розрахунки у табл. 4.5

Таблиця 4.5

РОЗРАХУНОК ПОТОЧНОЇ ВАРТОСТІ ЗВИЧАЙНОГО АНУЇТЕТУ, гр. од.

Рік	Залишок на поча­ток року	Нарахований процент (Гр.2* 10%)	Залишок на кі­нець року без щорічних вира­хувань (Гр.2 + Гр. 3)	Щорічне вилучення з рахунка	Залишок на кінець року (Гр.4-Гр. 5)
1	2	З	4	5	6
1	1137,0	114,0	125,1	300,0	951,0
2	951,0	95,1	1046,1	300,0	746,1
3	746,1	74,6	820,7	300,0	520,7
4	520,7	52,0	572,7	300,0	272,7
5	272,7	27,3	300,0	300,0	0
Усього	X	363,0	x	1500,0	x

Різниця між початковим вкладом та знятою з рахунка сумою (сумою накопичення) є сумою процентів, що нараховуються на за­лишок вкладу:

1500 - 1137 = 363,0 гр. од.

Приклад 4.9. Щорічні відрахування становлять 300 гр. од. протягом п'яти років. Ставка дисконту становить 10 %. Визначити теперішню вартість ренти за умови виникнення ануїтетів на початку кожного року.

Розв 'язок

За авансового ануїтету кожний період дисконтується однією ви­платою. Оскільки виплати виконуються швидше, така рента має бі­льшу вартість, ніж звичайна. Значення авансової ренти може бути розраховано множенням показника PV звичайної ренти на (1 + і).

PVA _{n (аванс)} = РМТ • (PVIFA_i,n) • (1 + i)

PVA _{n (аванс)} = 300 гр. од. • 3,7908 -1,1 = 1 251,0 гр. од.

У розділі розглянуто основні фінансово-математичні моделі, які можуть бути застосовані для оцінювання прибутковості різ­номанітних інвестиційних проектів та вибору з них оптимальні­шого.

Проте, застосовуючи математичний апарат для обрання того чи іншого варіанта вкладання грошових коштів, фінансовий ме­неджер повинен також зважати на обставини суб'єктивного хара­ктеру, які неможливо формалізувати в ту чи іншу фінансово-математичну модель: джерела виникнення початкового капіталу; репутація фірми, у справу якої інвестуються кошти; економічна та політична стабільність у країні та ін.