1. Выбор методов решения и их обоснование
В курсовой работе были использованы следующие методы:
а) метод Ньютона для нахождения корня нелинейного уравнения
б) метод решения квадратного уравнения
в) алгоритм Горнера для вычисления значений функции
1.1 Метод Ньютона для нахождения корня нелинейного уравнения
Основными методами решения нелинейных уравнений являются: метод простой итерации, метод деления пополам, метод Ньютона. Из этих методов наиболее оптимальным с точки зрения быстродействия и точности является метод Ньютона.
Для решения уравнения этим методом необходимо знать начальное значение X0 функции и точность E с которой его нужно решить.
Алгоритм решения:
1) приводим функцию к виду
2) присваиваем X значение Х0;
3) вычисляем
4) находим первую производную функции
и её значение
5) вычисляем значение
;
6) присваиваем х = х -
7) проверяем условие
,
если оно выполняется, то корень найден,
иначе переходим к пункту №3.
1.2 Метод решения квадратного уравнения
Решение квадратного уравнения вида
происходит по формулам:
,
.
Если D
0,
то
.
Если D<0, то
.
Это означает, что дискриминант можно не находить при вычислении суммы корней квадратного уравнения, т.е.
.
Алгоритм Горнера для вычисления значений функции
Известно, что полином в общем виде записывается следующим образом:
Y=An*X^n+ A(n-1)*X^(n-1)+…A1*X+A0 .
Горнер предложил переиндексировать коэффициенты многочлена:
Y=A1*X^n+ A(n-1)*X^(n-1)+…An*X+A(n+1) .
Далее он предложил разложить многочлен и представить в виде:
Y=(…(A1*X+A2)*X +A3)*X+…A1)*X+A(n+1) .
Исходя из такого представления, он предложил алгоритм, который еще называют схемой Горнера:
-все коэффициенты A1, A2,…,A(n+1) представить в виде элементов массива;
-должны учитываться все коэффициенты. Если они отсутствуют в полиноме, то их надо все равно использовать, считая их равными нулю;
-до цикла FOR-NEXT взять значения y=A(1);
-цикл по управляющей переменной организовывать с I=2 до X+1;
-в цикле использовать формулу:
Y=Y*X+A(I) .
Если все значения Y надо сохранить, то Y следует организовать тоже как массив.
1.4 Понятие машинного и реального времени
Существует два пути, по которым можно производить реализацию программы: либо в темпе быстродействия ЭВМ (при этом время задержки напрямую зависит от частоты процессора), либо в реальном времени.
Машинное время является относительным, так как зависит от быстродействия ЭВМ, от используемого языка, от сложности алгоритма и т. д.
Моделирование в реальном времени дает возможность оценивать эффективность алгоритмов для работы в реальных системах.
1.5 Дискретизация времени
При реализации программы в реальном времени непрерывные процессы заменяются на дискретные. При этом временной интервал t представляется как совокупность дискретных интервалов:
t=nTk,
где Tk – время квантования или период квантования (квант); n – количество шагов или квантов.