Курсовик по ТОЭ Вариант 4

Министерство общего и профессионального образования РФ.

Санкт-Петербургский электротехнический университет.

Курсовое проектирование по Теории Электрических Цепей.

Исследование искажений сигналов на выходе фильтра нижних частот.

Выполнил:

Волох К.А. гр. 1321.

Вариант 4.

Проверил:

Соколов В.Н.

Спб. 2003г.

Целью курсовой работы является практическое освоение и сравнение различных методов расчета цепи.

Задание к курсовой работе:

На вход электрической цепи с момента t = 0 подаётся импульс тока. Реакция цепи – ток i₂ = i_R2 .

Амплитуда Im, А	tи, 10-6 с	T , с	R1=R2 103 Ом	L1 10-3 Гн	L2 10-3 Гн	С1 10-12 Ф
2	4,71	tи	2	1	1	500

1. Нормирование параметров и переменных цепи:

t_* = t/t_б ; w_* = w/w_б ; R_* = R/R_б ; L_* = Lw_б/R_б ; C_* = Cw_бR_б ;

t_б = 10^-6 с; w_б = 10⁶ с^-1; R_б = 2*10^-6 Ом;

R_1* = 1; R_2* = 1; L_1* = 0,5; L_2* = 0,5; C_1* = 1; t_и* = 4,71;

2. Определение передаточной функции цепи H(s):

Z_R1 = 1; Z_R2 = 1; Z_L1 = 0,5s; Z_L2 = 0,5s; Z_C1 = 1/s; H(s) = I_R2(s)/I₁(s);

-U_C1 + U_L2 + U_R2 = 0; (1+0,5s) I_R2 = 1/s I_C1 ;

-I_{C1 *} 1/s + 0,5s _* I_L2 + I_R2 =0; I_R2= I_C1/(s(1+0,5s));

I₁ = I_R1 + I_L1 ; - I₁ + I_C1 (1+0,5s+1/s) + I_R2 (1+0,5s) = 0;

- U_R1 + U_L1 + U_C1 = 0; I_C1 = (I₁ - I_R2 (1+0,5s))/(1+0,5s+1/s);

I_C1 + I_R2 = I_L1 ;

L1

L2

H(s) = I_R2/I₁ ;

1

Полюсы : s₁ = -2; s₂ = -1±j w=0

П

L1

L2

роверка :

При s = 0 ; w = 0;

H(0)=0,5;

I₂ = 0,5 I₁ ; H(0) = I₂/I₁ = 0,5;

При s=∞; w->∞; H(s) = 0;

I₂ = 0; H(∞) = I₂/I₁ = 0;

w->∞

jw

S₂ 2

S₁ 1

-2 -1 0 1 2 σ

-1

S₃

-2

2. Расчёт частотных характеристик цепи:

H(jw)=H(s)|_s=jw = =

Амплитудно-частотная характеристика АЧХ:

A(w)=|H(jw)|=A_числ/А_знам = =

Фазо-частотная характеристика ФЧХ:

Ф(w) = arg H(s) =

Полоса пропускания цепи определяется на уровне 0,707 |H(s)|max =0,352;

W cp = 2.

j Im

^{0.5 1}

Re

^w=2

^w=1

^-0.5

2. Составление уравнений состояния цепи:

Заменяем С-элемент источником напряжения, а L1,L2 – источниками тока.

U_c`(t)=i_c(t)/C; i_C(t) = I_L1(t) - I_L2(t);

U_L1(t) = U_R1(t) - U_C(t); U_R1 = I_R1 * R₁ ;

I_L1`(t)=U_L1(t)/L₁; I_R1(t) = I₁ - I_L1(t);

U_L1(t) = I₁ * R₁ - I_L1(t) * R₁ - U_C(t);

I_L2`(t)=U_L2(t)/L₂; U_L2(t) = U_C(t) - I_L2(t) * R₂;

U_c`(t)

I_L1`(t) = * + I₁

I_L2`(t)

U_c`(t)

I_L1`(t) = * + I₁

I_L2`(t)

Для контроля уравнений состояния рассмотрим схемы замещения цепи при единичном ступенчатом воздействии.

I₁(t) = σ₁(t); при t = 0⁺ и t->∞;

_{L1 L2 L1 L2}

_C1

U_L1(0⁺) = 1 I_L1`(0⁺)=U_L1(0⁺)/L₁ = 2;

U_L2(0⁺) = 0 I_L2`(0⁺)=U_L2(0⁺)/L₂ = 0;

I_C1(0⁺) = 0 U_c`(0⁺)=i_c(0⁺)/C = 0;

U_c(∞) = 0,5 I_L1 - I_L1 =0; I_L1 = I_L2; I_L1 = 0,5;

I_L1(∞) = 0,5 -2 U_C1 – 2U_L1 +2 = 0; U_C1 = 0,5; I_L2 =0,5;

I_L2(∞) = 0,5 2 U_C1 -2 U_L2 = 0; U_C1 =0,5;

2. Определение переходной h₁(t) и импульсной h(t) характеристик.

1. Аналитический метод расчета h₁(t).

i₂ = i_L2; h₁(t) численно равна i₂(t);

i_{L2 вын} = 0,5 входное воздействие i₁(t) = σ₁(t);

i_L2 = i_{L2 вын} + i_{L2 св} ; i_{L2 св} = A₁e^(p1)t + A₂e^(p2)t + A₃e^(p2)t ;

-p 1 -1

det[A-pE]= -2 -2-p 0 = -p(2-p)(2-p)-(-2(-2-p))-2(2-p)=0;

2 0 -2-p

p³ + 4p² + 8p +8 = 0;

p₁ = -2; _

p₂ = -1±j√3

i_L2(0⁺) = i_L2(0^-) = 0;

i`<sub>L2</sub> (0<sup>+</sup>) = 2u<sub>C</sub>`(0⁺) - 2i_L2(0⁺) = 0;

i``_L2 (0⁺) = 2u_C`(0<sup>+</sup>) - 2i<sub>L2</sub>`(0⁺) = 2i_L1(0⁺) – 2i_L2(0⁺) – 4u_L2(0⁺) + 4 i_L2 (0⁺);

i_L2(0⁺) = A₁ + A₂ + A₃ + i_{L2 вын};

i`_L2 (0⁺) = A₁p₁ + A₂p₂ + A₃p₃;

i``_L2 (0⁺) = A₁p²₁ + A₂p²₂ + A₃p²₃;

0 = A₁ + A₂ + A₃ + 0,5; A₁ = -0,5;

0 = -2A₁ –(-1-j√3)A₂ - (-1+j√3)A₃; A₂ = -j/(2√3);

0 = 4A₁ +(-2-j2√3) A₂ + (-2-j2√3)A₃; A₂ = j/(2√3);

h₁(t) =

h₁(0⁺) = 0; h₁(∞) = 0,5 соответствует значениям, которые можно получить по соответствующим с хемам замещения.

5.2 Численный расчёт переходной характеристики h₁ (t):

[Δf_2k] = Δt ([A][f_2(k-1)] + [B][f_1(k-1)];

[f_2k] = [f_2(k-1)] + [Δf_2k];

Начальные условия: U_c(0-) = 0; I_L1(0-) = 0; I_L2(0-) = 0;

Δt=1/5 min[-1/p₁, -1/p₂, -1/p₃ ] = 0,1 c.

I`<sub>L2</sub> = 2U<sub>C1</sub> – 2I<sub>L2</sub>; U<sub>C1</sub>`= I_L1 – I_L2; I`_L1 = -2U_C1 – 2I_L1 + 2;

t = 0+Δt = 0,1 c t = 0,1+Δt = 0,2 c t = 0,2+Δt = 0,3 c

I_L21 = 0; I_L22 = 0; I_L23 = 0,004;

U_C11 = 0; U_C12 = 0,02; U_C13 = 0,056;

I_L11 = 0,2; I_L12 = 0,36; I_L13 = 0,484;

t = 0,3+Δt = 0,4 c t = 0,4+Δt = 0,5 c t = 0,5+Δt = 0,6 c

I_L24 = 0,0144; I_L25 = 0,032; I_L26 = 0,0576;

U_C14 = 0,104; U_C15 = 0,16; U_C16 = 0,22;

I_L14 = 0,576; I_L15 = 0,64; I_L16 = 0,68;

t = 0,6+Δt = 0,7 c t = 0,7+Δt = 0,8 c t = 0,8+Δt = 0,9 c

I_L27 = 0,09; I_L28 = 0,128; I_L29 = 0,17;

U_C17 = 0,28; U_C18 = 0,341; U_C19 = 0,39;

I_L17 = 0,7; I_L18 = 0,704; I_L19 = 0,695;

h(t) = h`₁(t) = =

6. Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе.

w₀ = 2π/T = 2*3,14/(2*4,71) = 4/6 = 2/3;

Теорема запаздывания:

=

I₂(s) = I₁(s)*H(s);

I₂(s) = =

* (1+e^-4,71s)

A₁ = A₂* = I₂(s)(s-j (2/3))| _{s=j (2/3)} = -0,314 ± j 0,388 = 0,5 ^{±j 129};

A₃ = 0,25 I₂(s)(s+2) | _{s= -2} = 3/40;

A₄ = A₅* = I₂(s)(s+1-j √3)| _{s=-1+j √3} = 0,164 ± j 0,118 = 0,2e^{±j 36};

7. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия.

Импульс воздействия :

I₁(jw) = I₁(s)| _s=jw = =

Амплитудный спектр входного одиночного сигнала:

|A_i(w)| =

Ф_i(w) = -2,36w +

8. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе.

I₂(s)=H(s)I₁(s)

I₂(jw)=I₂(s)| _s=jw = (1+e^-j4.71w )

| I₂(jw)| =

Ф₂(w)= -2,36w +

10 Определение спектра периодического входного сигнала.

I_1mk = 2/T*| I₁(jw)|_w=kw1 –амплитудный спектр входного периодического сигнала;

α_1k = α_1k(w) |_w=kw1 – фазовый спектр входного периодического сигнала;

k=0,1,2…

| I₁(jw)| = ;

T=4,71; w₁=1,33;

I_1mk =

α_1k = -3,14k +

i₁(t)≈ I₁₀ /2 + = 1,29 + 0,846 cos(4/3t-π) +

+ 0,169 cos(8/3t-π) + 0.073 cos(4t-π)

11. Приближенный расчёт реакции при периодическом воздействии.

I_2mk = |H(jkw₁)| I_1mk ; α_2k = Ф_н(kw₁) + α_1k ;

I_2mk = *

α_2k = -3.14k +

i₂(t)≈ I₂₀ /2 + = 0,6425 + 0.402 cos(4/3t + 96) +

0,033 cos(8/3t -173) + 0.0045 cos(4t – 30)

Вывод: В ходе выполнения курсовой работы были произведены основные расчёты цепей в t – области и s – области. Также приобретены навыки работы с частотными характеристиками.

Ширина спектра входного сигнала входит в полосу пропускания цепи, следовательно сигнал проходит без искажений;

Uвых(t)=0.5 Uвх(t) – tз

tз – время запаздывания = 1.052; tз=Ф(w=1)/Δw

практическая длительность переходного процесса tпр =3