Билет №1.

1. С ледствия из аксиом стереометрии.

Следствие первое: Через прямую и не лежащую на ней точки проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство: Рассмотрим прямую а и не лежащую на ней точку А. Докажем, что через прямую а и точку А проходит плоскость. Отметим на прямой а две точки P и Q. Эти три точки не лежат на одной прямой, поэтому согласно аксиоме А1, через эти точки проходит некоторая плоскость α. Так как две точки прямой а лежат в плоскости α, то по аксиоме А2 плоскость α проходит через прямую а.

Единственность плоскости, проходящей через прямую а и точку , следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и точку А, проходит через точки А, Р и Q. Следовательно эта плоскость совпадает с плоскостью α, так как через эти три точки по аксиоме А1 проходит только одна плоскость. Теорема доказана.

С ледствие второе: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство: Рассмотри прямые a и b, пересекающиеся в точке М, и докажем, что через эти прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Отметим на прямой b какую-нибудь точку К, отличную от точки М, и рассмотрим плоскость α, проходящую через прямую а и точку К. Так как две точки прямой b лежат в плоскости α, то по аксиоме А2 плоскость проходит через эту прямую. Итак, плоскость α проходит через прямые a и b. Единственность этой плоскости следует из того, что любая плоскость, проходящая через эти прямые, проходит через точку К, следовательно она совпадает с плоскостью α. Теорема доказана.

2. Вектор в пространстве – это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Признак компланарности трех векторов

Если вектор   можно разложить по векторам   и  , т.е. представить в виде , где х и у — некоторые числа, то векторы  ,   и  компланарны.

Билет №2.

1. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема (признак) скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доказательство: Рассмотрим прямую АВ, лежащую в плоскости α, и прямую СК, пересекающую эту плоскость в точке С, не лежащую на прямой АВ. Докажем, что АВ и СК – скрещивающиеся прямые, т.е. они не лежат одной в одной плоскости. Действительно, если допустить, что прямые АВ и СК лежат в некоторой плоскости β, то плоскость β будет проходить через прямую АВ и точку С и совпадать с плоскостью α. А это невозможно, так как прямая СК не лежит в плоскости α. Теорема доказана.

2. Поверхность, составленная из четырех треугольников ABC, DAB, DBC и DCA, называется тетраэдром и обозначается так: DABC

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны — ребрами, а вершины — вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов , называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDA1B1C1D1.

1° Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Докажем, например, параллельность и равенство граней АВВ1A1 и DCC1D1 параллелепипеда ABCDA1BlC1Dl (рис. 37, а). Так как ABCD и ADD1A1 — параллелограммы, то AB||DC и AA1||DD1. Таким образом, две пересекающиеся прямые АВ и АА1 одной грани соответственно параллельны двум пересекающимся прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоскостей следует, что грани АВВ1A1 и DCC1D1 параллельны.

Докажем теперь равенство этих граней. Так как все грани параллелепипеда — параллелограммы, то AB=DC и AA1=DD1. По этой же причине стороны углов А1АВ и D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма АВВ1А1 соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны.