Интегральные характеристики напряжений в точке

Установим связь между интегральными характеристиками напряжений и напряжениями в сечении.

Рис. 19

Выберем бесконечно малую площадку dF = dxdy. На этой площадке действуют нормальное напряжение _z и касательные напряжения _zx, _zy (рис.19). Для того чтобы найти элементарную продольную силу, необходимо умножить нормальное напряжение на площадь площадки, на которой оно действует (_zx, _zy перпендикулярны оси Z и поэтому не входят в состав продольной силы). Так как таких элементарных площадок по сечению бесконечно много, то, чтобы найти полную продольную силу, необходимо проинтегрировать элементарную продольную силу по площади поперечного сечения:

dN=_zdxdy,

N= . (19)

Аналогично поступаем для получения выражений поперечных сил:

Q_x= ,

Q_y= . (20)

Для получения выражений изгибающих и крутящего моментов напомним, что момент – это произведение силы на плечо (плечо - кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы). Вокруг оси Х момент создает только сила _zdxdy (сила _zхdxdy не создает момент, т. к. параллельна оси Х; сила _zуdxdy не создает момент, так как пересекает ось), плечом для этой силы является координата Y точки действия силы. Момент положительный, т. к. создает вращение против часовой стрелки:

M_x = . (21)

Аналогично поступаем для получения выражений моментов M_у и M_z:

M_у =- , (22)

М_z = . (23)

Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения

Определим величину нормального напряжения в плоскости поперечного сечения, зная интегральные характеристики в этом сечении. Предположим, что нормальные напряжения в сечении распределены по линейному закону:

(х,у) = а + bх + су. (24)

С нормальным напряжением в сечении связаны продольная сила и два изгибающих момента. Подставим в выражения (19), (21) и (22) наше предположение о линейной зависимости напряжения от координат в сечении (24):

N = = =

= + + =

= аF+bS_y+cS_x ;

M_x = = =

= + + = aS_x+bI_xy+cI_x; (25)

M_у = - = - =

= - - - = -aS_y-bI_y-cI_xy.

Выражения (25) были получены для произвольного положения осей. Их можно упростить, взяв в качестве системы координат главные центральные оси. По определению в этих осях статические и центробежный моменты инерции равны нулю (S_x = S_у = 0, I_xy = 0).

N = аF,

M_x = cI_x, (26)

M_у = -bI_y.

Из полученных выражений можно найти коэффициенты а, b и с:

а = N/F, с = M_x /I_x , b = -M_у /I_y. (27)

Подставив полученные значения коэффициентов в выражение (24), получим

 = , (28)

где N – продольная сила в сечении; М_х, М_у – изгибающие моменты в сечении; F – площадь поперечного сечения; I_х, I_у – главные осевые моменты инерции сечения; х, у – координаты точки, в которой вычисляется напряжение относительно главных центральных осей.