Решение линейных уравнений в целых числах. Примеры.

Теперь перейдем непосредственно к основной теме нашего проекта. Когда в уравнении с двумя переменными, значения переменных равны целым числам, то такие решения называют целочисленными. Если требуется найти все целочисленные решения, то говорят о решении уравнения в целых числах.

Именно таким решениям уравнений был посвящен труд вышеупомянутого Диофанта Александрийского «Арифметика».

Начнем с того, что уравнения, имеющие в правой части дробное значение не имеют целочисленных решений, так как при целых значениях х и у, значение левой части есть целое число, тогда как значение правой части – число дробное. Уравнение 4х + 3у = 0,5 имеет вид ax + by = c, в котором a и b - взаимно простые числа. Любое линейное уравнение с рациональными числами a, b и c можно привести к такому виду. По этому виду можно узнать о наличии в нем целочисленных решений: если свободный член уравнения дробное число, то уравнение не имеет целочисленных решений.

Пример 1.

Уравнение 4х + 3у = 0,5 не имеет целочисленных решений, а уравнение 7х – у = -1 имеет сколько угодно целочисленных решений. Если решим это уравнение, выразив у, то получим:

у = 1 + 7х

При подстановке любого целого числа вместо х в результате вычислений получим соответствующее значение у, которое также будет целым числом. Пусть целое число равно n. Все целочисленные решения этого уравнения выражаются формулами:

х = n и у = 1+7n, где n = 0; больше или меньше 1; 2…

Найдем по этим формулам несколько целочисленных решений данного уравнения.

Если n =0, то х = 0; у = 1.

Если n =1, то х =1; у = 8.

Если n =-1, то х = -1; у = -6.

Пример 2.

Задача. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других.

Решение: Исходя из того, что у кролика 4 ноги, а у фазана две, составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число кроликов, у – число фазанов:

4х + 2у = 18, или, если обе части разделить на 2, 2х + у = 9.

Выразим у через х : у = 9 – 2х.

Далее воспользуемся методом перебора:

Х: 1;2;3;4.

У: 7;5;3;1.

Далее подставляем числа в уравнение в разных комбинациях. Вышло, что задача имеет четыре решения.

Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

Заключение.

Итак, в заключении мы бы хотели подвести итог работы, проделанной нашей группой. В ходе сбора информации, ее редактирования, составления текста работы и примеров, мы разобрались в способах решения уравнений с двумя переменными, а при составлении презентации научились строить графики. Подбирая материал для проекта, мы проверяли и перепроверяли каждое слово, следя за тем, чтобы текст и содержание было понятно для наших ровесников.

Также мы выполнили и основную часть поставленных задач, то есть, раскрыли теоретические моменты решения уравнений, доступным языком объяснили, как решать уравнения в целых числах и привели, на мой взгляд, достаточно простые и понятные примеры. Другими словами, мы выполнили все поставленные задачи, и достигли цели.