Свойства и способы решения линейных уравнений с двумя переменными.

Свойства уравнений с двумя переменными формулируются так же, как свойства уравнений с одной переменной:

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2. Если обе части уравнения подлить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному;

3. Если в какой-либо части или в обеих частях уравнения выполнить тождественное преобразование, не меняющее области определения уравнения, то получится уравнение, равносильное данному.

Теперь поговорим о способах решения. Их существует множество. Но мы рассмотрим лишь основные из них. Это:

1. Разложение на множители.

2. Группировка одночленов.

3. Решение уравнения графически.

4. Метод перебора(или метод подстановки).

Пример 1.

Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.

Решение. Группируем слагаемые с целью разложения на множители:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:

y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.

Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.

Пример 2.

Решить уравнение: 3х – 2у = 4 с помощью графика.

Для начала рассмотрим определение: графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решением этого уравнения. Известно, что графиком линейного уравнения является прямая, во время решения не стоит забывать об этом.

План решения системы уравнений графическим способом

1. Выразить переменную у в первом уравнении.

-2у = 4 -3х

-у = 2 – 3х

у = -2 – 3х

2. В одной системе построить график данной функции

3. Координаты точек пересечения и является решением уравнения. В нашем случае это: (1;-5) ; (2; -7) ; (3; -13) ; (3; -14)

Помните!

Координаты точек пересечения определяются приблизительно, поэтому и решения могут получиться приблизительными;

Способы решения систем уравнений с двумя переменными.

Что такое решение системы линейных уравнений. Прежде всего, это пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Рассмотрим способы решения сразу же на примере. Возьмем систему линейных уравнений с двумя переменными и решим ее несколькими способами. Это система:

1. Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные члены – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х. этот метод известен так же, как метод подстановки.

2. Еще один способ решения кроется под названием: способ сложения. Для этого нужно умножить левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами. (слайд)Затем складывают почленно полученные уравнения,(слайд) решают получившееся уравнение с одной переменной(слайд) и находят соответствующее значение второй переменной.(слайд)

3. Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический.(слайдс графиком передам в понедельник) Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут решением задачи. (естественно, слайд)