Доклад.

Тема: Линейные уравнения с двумя переменными и их решения в целых числах.

Выполнили:

Ученики 7 «Д» класса, первая группа:

Бологов Дмитрий, Самдан Сылдыс, Курочкина Галина, Семеникова Изабелла, Ткаченко Ирина, Саган-оол Айдыс.

Капитан команды:

Ткаченко Ирина.

Руководитель:

Леонтьева Евгения Ивановна, учитель математики.

Введение.

Наша тема – линейные уравнения с двумя переменными и способы их решения. Эта тема играет важную роль в математике и алгебре, к тому же имеет и прикладной характер: многие задачи по физике, экономике и химии решаются с их помощью, так что, познакомившись с ними сейчас, нам будет легче в старших классах. Кроме того, линейные уравнения с двумя переменными присутствуют и в ЕГЭ в 9 и 11 классах.

Цель нашей работы: ознакомиться с линейными уравнениями и обобщить знания учащихся нашего класса по данной теме.

Для того, чтобы осуществить поставленную цель, наша группа поставила перед собой определенные задачи: Узнать, кто из ученых впервые ввел понятие «линейные уравнения» (исключительно для собственного интереса и развития кругозора)

1. Рассмотреть понятие уравнений с двумя переменными, и основные теоретические моменты.

2. Развить умение решать линейные уравнения с двумя переменными, а также их систем.

3. Изучить материал о решениях уравнений с двумя переменными в целых числах.

4. Закрепить материал на практике.

История.

Вообще, решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах.

История сохранила нам мало черт биографии замечательного александрийского ученого-алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э.

Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В XVII – XVIII в.в. приемы исключения разрабатывали:

Пьер де Ферма ( 17 августа 1601 – 12 января 1665, прожил 63 года) – французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года — советник парламента в Тулузе;

Исаак Ньютон (25 декабря 1642 (4 января 1643) – 20 марта 1727 (31 марта 1727), прожил 84 года) – английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики;

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1 июля 1646 – 14 ноября 1716, прожил 70 лет) – немецкий философ, математик, юрист, дипломат;

Леонард Эйлер ( 4 (15) апреля 1707 – 7 (18) сентября 1783, прожил 76 лет) – швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук;

Этьенн Безу ( 31 марта 1730 – 27 сентября 1783, прожил 53 года) – французский математик, член Парижской академии наук (1758);

Жозеф Луи Лагранж (25 января 1736 – 10 апреля 1813, прожил 77 лет) – французский математик, астроном и механик итальянского происхождения. Наряду с Эйлером — лучший математик XVIII века.

Что такое линейные уравнения с двумя переменными? Примеры.

Уравнение вида ax + by = c, где a, b и c – числа, а x, y – переменные, называется линейным уравнением с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение 2x – y = 1. Оно содержит две переменные: х и у.

Это уравнение обращается в верное равенство при x = 2 и y = 3, поэтому эта пара значений переменных является решением уравнения. (на слайде показывается его решение)

Итак, Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Пара чисел 3 и 2 (при х=3, у=2) не является решением вышеозначенного уравнения, так как равенство 6-2=1 неверно.

Пару значений двух переменных обычно записывают с помощью круглых скобок. Рассмотренные пары чисел 2 и 3, 3 и 2 можно записать так: (2;3), (3;2). При такой записи нужно указать, какое из значений переменных стоит на первом месте, а какое – на втором. Для переменных х и у на первом месте обычно пишут значение х, а для других букв – по алфавиту.

Уравнение с двумя неизвестными может:

а) иметь одно решение. Например, уравнение x2 + 5y2 = 0 имеет единственное решение (0; 0);

б) иметь несколько решений. Например, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2)2 = 0 имеет 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

в) не иметь решений. Например, уравнение 2x + 2y + 1 = 0 не имеет решений;

г) иметь бесконечно много решений. Например, x + y = 3. Решениями этого уравнения будут являться числа, сумма которых равна 3. Множество решений данного уравнения можно записать в виде (k; 3 – k), где k – любое действительное число.