27 Необхідні та достатні умови оптимальності за Парето.
Виділяють три умови забезпечення оптимальності за Парето. Перша умова. Оптимальний розподіл благ між споживачами виходить з дотримання умови, згідно з яким гранична норма заміщення двох благ має бути однаковою для обох споживачів. Припустимо, що в економіці виробляються два блага X і Y і є два споживачі А і В, то MUxa / MUya = MUxb / MUyb Друга умова. Оптимальний розподіл ресурсів у виробництві. Для виробництва благ X і Y є два ресурси i та j. У цьому варіанті має дотримуватися рівність, згідно з яким співвідношення граничних продуктів i та j, що використовуються для виробництва блага X, дорівнює співвідношенню граничних продуктів i та j у виробництві блага Y, а саме: MPix / MPjx = MPiy / MPjy Третя умова. Оптимальний обсяг виробництва. Кордон виробничих можливостей показує кількість благ X і Y, які можуть бути вироблені в умовах повного використання ресурсів. Оптимальний обсяг виробництва для будь-яких двох благ буде при дотриманні наступних співвідношень: MUx / MCx = MUy / MCy Це означає, що відношення граничних витрат до граничної корисності має бути однаковим для обох благ.
29 Оптимальність за Слейтером
Множество оценок H p ∈ H, удовлетворяющих этому условию, называется множеством Парето, или
эффективным, а множество соответствующих решений P(U) ∈ U называется множеством эффективных
решений, или Парето оптимальным множеством, т.е.
P(U) = {u : u ∈ U, H(u) ∈ Hp}.
Векторная оценка Hs ∈ D , максимальная по >, называется слабоэффективной или слабооптималь-
ной по Парето, или оптимальной по Слейтеру, а соответствующее решение и – оптимальным по Слей-
теру или слабоэффективным. Таким образом, оптимальное по Слейтеру решение обладает тем свойст-
вом, что не существует никакого другого решения u' ≠ u ∈ U, которое превосходит его в смысле поряд-
ка >
по всем компонентам критерия Н. Иными словами, если и оптимальное по Слейтеру, то не существует
такого u' ∈ U, что Hi {u') > Hi(u*),
i = 1, 2, ..., n.
Множество оценок D
s ⊂ D , оптимальных по Слейтеру [7, 8, 11], называется слабоэффективным
множеством, а множество соответствующих решений S(u) ⊂ U – слабоэффективным множеством реше-
ний, т.е. S(U) = {u: u ∈ U, для которых не существует u' ∈ U, таких, что
Hi (u') > Hi (и), t = 1, 2, ..., п}.
Точка
оптимальна по Слейтеру ( слабо эффективной
или полу эффективной), если не существует
х/
при которой
p ( s) - множество оптимальных стратегий.
30 Методи розв’язання багатокритерійних задач
Методы решения многокритериальных задач будем условно классифициро-
вать следующим образом:
1) построение обобщенного (интегрального) критерия:
– построение “свертки” критериев (аддитивные, мультипликативные, с учетом “ве-
сов” критериев и без);
– расчет “отклонений” от достижения целей (минимаксный, максимизации относи-
тельных степеней достижения целей, расчет сумм потерь и др.);
2) выделение приоритетного критерия и перевод остальных целевых функций в
ограничения;
3) последовательная оптимизация (метод уступок, лексикографический подход,
определение неподчиненных альтернатив, метод ELECTRE);
4) целевое программирование;
5) процедура, использующая так называемые функции полезности.
Наиболее употребляемыми подходами к формированию обобщенного кри-
терия являются следующие свёртки критериев:
линейные (аддитивные):
где i k – критерий оптимизации, i
– вес i -го критерия, i – номер критерия ( i 1,m);
2) мультипликативные:
3) комбинированные, например, представимые в виде функционала F3( F1,F2 ), за-
висящего от параметров:
здесь j – вес j -го комплексного критерия ( j 1,n );
4) максиминный (минимаксный) критерии:
Предпочтение отдают аддитивному критерию, если существенное значение
для рассматриваемой задачи имеют абсолютные значения критериев для вы-
бранного набора параметров. Мультипликативный критерий целесообразно выби-
рать, если существенную роль играет изменение абсолютных значений отдельных
критериев при вариации искомого параметра. В случае решения задачи достиже-
ния равенства нормированных значений противоречивых частных критериев вы-
бирают максиминный или минимаксный критерий.