Кривизна упругой линии и перемещения при изгибе.
При плоском изгибе ось балки искривляется, оставаясь в плоскости нагрузки. В результате каждое сечение (центр тяжести) получает вертикальное смещение (прогиб y) и поворачивается на некоторый угол θ = arctg y'.
Угол θ, на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения. Учитывая, что повернувшееся сечение ортогонально изогнутой оси балки, заключаем, что вместо определения угла поворота сечения можно определить равный ему угол между касательной к изогнутой оси в данной точке и первоначальным положением балки.
Для определения деформации балки воспользуемся уравнением (6.2) для кривизны k нейтрального слоя
.
Как известно из курса высшей математики, выражение кривизны k через производные вертикального смещения имеет вид
.
Ввиду малости
по сравнению с единицей, принимаем
.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
. (6.7)
Интегрируя (6.7) по z, получаем уравнение для углов поворота сечений
.
Повторное интегрирование дает уравнение изогнутой оси (прогибов)
. (6.8)
Здесь константы
- прогиб и угол поворота сечения в начале
координат. Они определяются из условий
опирания балки (граничных условий). Для
балки, заделанной одном концом, в месте
заделки должны быть равны нулю и прогиб,
и угол поворота. Для балки, опертой по
концам, прогиб должен быть равен нулю
на каждой из опор.