1.Постановка задачи
В данном курсовом проекте дан шар с граничными условиями третьего рода. Шар радиуса R с некоторым заданным начальным распределением температуры в виде функции f(r). В начальный момент времени шар помещается в среду с постоянной температурой tc>t(r,0). Нужно найти распределение температуры внутри шара в любой момент времени и удельный расход тепла при условии, что температура в любой точке шара есть функция времени и радиуса r, исследовать влияние теплофизических параметров на тело. Задача – отобразить уравнения, граничные, начальные и конечные условия. Надо получить 2 решения: для больших и малых Фурье, которые необходимо сшить. Решения будут разными, так как ряды плохо сходятся. Для граничных условий третьего рода нужно посчитать корни характеристических уравнений. Исследовать полученные результаты для нескольких материалов, построить графики, таблицы, а также сделать выводы. Результаты, полученные в программе MathCad надо сравнить с результатами, приведенными в книге для определения правильности расчетов.
Входные данные:
-радиус для всех материалов принимается равным R=0,04 м
-коэффициент
теплоотдачи для материалов α=280 Вт/
*К
В данной работе в качестве исследуемых материалов берется сталь, резина и стекло оконное, теплофизические свойства которых приведены в таблице 1.1.
Дифференциальное уравнение теплопроводности для шара:
|
(1.1) |
Начальные и граничные условия – следующие:
(1.2)
Таблица 1.1. Теплофизические свойства
Материал |
λ,Вт/м*К |
ρ
,кг/ |
С,Вт/ *К |
A , |
Сталь |
14 |
7817 |
361 |
4.961* |
Резина |
0.15 |
1200 |
1.42 |
8.803* |
Стекло |
1.15 |
2500 |
840 |
5.476* |
Решение для больших Фурье, которое приведено в учебнике «Теория теплопроводности», А.В.Лыков:
(1.3)
Решение для малых Fo:
(1.4)
Где: ierfc – Функция ошибок Гаусса, которая равна:
(1.5)
При малых значениях Fo температура в центре шара почти не изменяется, поэтому наибольший интерес представляет изменение температуры на поверхности, которая при малых значениях Fo, но при больших Bi изменяется в широких пределах. Следующие члены формулы (1.4), начиная со второго, ничтожно малы по сравнению с первым, поэтому в решении ими можно пренебречь. Таким образом, приближенные решения дают удовлетворительные результаты и возможность обойтись без громоздких вычислений.
2.Методика решения задачи
Находятся первые
6 корней
характеристического
уравнения:
,
(2.1)
меняя коэффициент теплоотдачи на границе, для трех различных Bi, затем сравниваются с табличными данными:
Рисунок 2.1. Метод нахождения корней характеристического уравнения в пакете MathCad
Записываем
характеристическое уравнение, далее,
с помощью встроенной в пакете MathCad
функции «root»
находим пересечение искомых корней с
тангенсоидой (рисунок 2.2). Необходимо
задать условие для критерия Bi;
если Bi>1,
то некоторой координате присваиваем
значение х=
,
если Bi<1,то
значение х=
.
Для нахождения корней был использован
метод параллельного переноса, так как
точно находились только первые 2 корня.
Новое значение
переносим в нулевую точку графика. С
помощью такой схемы были найдены значения
μ.
Рисунок 2.2.Графический способ определения корней характеристического уравнения в случае шара.
Таблица 2.1.Сравнение расчетных и табличных значений μ
Bi |
|
|
Bi |
|
|
Bi |
|
|
0.02 |
0.2445 |
0.2445 |
0.2 |
0.7593 |
0.7593 |
2 |
2.0288 |
2.0288 |
4.4979 |
4.4979 |
4.5379 |
4.5379 |
4.9132 |
4.9132 |
|||
7.7278 |
7.7278 |
7.7511 |
7.7511 |
7.9787 |
7.9787 |
|||
10.906 |
10.906 |
10.9225 |
10.9225 |
11.0856 |
11.0855 |
|||
14.0676 |
14.0676 |
14.0804 |
14.0804 |
14.2075 |
14.2074 |
|||
17.2219 |
17.2219 |
17.2324 |
17.2324 |
17.3364 |
17.3364 |
и полностью совпадают, с точностью до четвертого знака после запятой. Данная модель решения пригодна для таких расчетов, программа работает.