§4.6 Структурно-параметрическая оптимизация систем без запаздывания

Если задающее воздействие лежит в области низких частот, а возмущение – в области высоких частот, то «хорошая» замкнутая система должна быть близка по своим свойствам к идеальному низкочастотному фильтру (рис. 4.20).

Не существует устойчивой дробно–рациональной функции, точно соответствующей свойствам идеального фильтра. Амплитудно–частотную характеристику, близкую по форме к идеальному фильтру, имеет фильтр Баттерворта.

. (4.13)

При стремится к идеальному фильтру. При конечных значениях характеристика фильтра отклоняется от идеала.

При практическом использовании фильтров Баттерворта передаточную функцию замкнутой системы

(4.14)

приводят к нормированному виду путем деления числителя и знаменателя на и использования безразмерного оператора

, (4.15)

Нормированную запишем в виде

, (4.16)

где

,

. ,

где – среднее геометрическое значение модулей корней характеристического уравнения (масштабный множитель), определяющее быстродействие системы, с.

Если нормирована, то . Коэффициенты нормированной выбирают в соответствии со стандартными полиномами Баттерворта (табл. 4.1), Грехэма и Летропа и другими распределениями. В табл.4.1 приведены коэффициенты нормированных передаточных функций и соответствующее им значение перерегулирования для полиномов Баттерворта (Б) и Грехэма и Летропа (Г-Л).

Таблица 4.1.

Коэффициенты нормированных передаточных функций для распределений Баттерворта (Б) и Грехэма-Летропа (Г-Л)

n	Вид распределения	Ai	A2	A3	A4
2	Б, Г-Л	1,4	-	-	-
3	Б	2,0	2,0	-	-
	Г-Л	1,75	2,15	-	-
4	Б	2,6	3,4	2,6	-
	Г-Л	2,1	3,4	2,7	-
5	Б	3,24	5,24	5,24	3,24
	Г-Л	2,8	5,0	5,5	3,4

Распределение корней по Баттерворту характеризуется тем, что они располагаются на полуокружности единичного радиуса. Если порядок характеристического полинома соответствует нечетному числу, то один корень действительный, остальные – комплексно-сопряженные; при четном все корни – комплексно–сопряженные.

Системы, в которых коэффициенты характеристического полинома соответствуют полиномам Баттерворта, называют оптимальными по модулю (ОМ), т.к. в этом случае АЧХ в широком диапазоне частот имеет постоянную амплитуду. Такая настройка является стандартной для систем промышленного электропривода и удовлетворяет, в основном, требованиям технического оптимума (ТО) по быстродействию и качеству управления. Термины ОМ и ТО широко используют в электроавтоматике.

Распределение корней по Грехэму и Летропу получено в результате минимизации следующей интегральной оценки

и при n>3 обеспечивает лучшие показатели переходного процесса, чем распределение Баттерворта.

Масштабный множитель не влияет на форму переходного процесса. Его можно определить, исходя из требуемых показателей быстродействия:

; ,

где - порядок полинома, – время регулирования, – время достижения выходной координаты установившегося значения.

Необходимое значение обеспечивается соответствующим выбором коэффициента передачи разомкнутого контура , который входит в свободный член : для статических систем ; для астатических .

Приведенные значения коэффициентов нормированных могут использоваться как исходные для отыскания оптимальных параметров системы и в случаях, когда содержит в числителе слагаемые с оператором .

Для построения переходных процессов стандартные полиномы удобно записывать в форме сомножителей. Передаточные функции замкнутых систем третьего–пятого порядков с полиномами Баттерворта соответственно равны

;

;

.

На основе полиномов Баттерворта определены настроечные параметры типовых регуляторов (табл. 4.2) применительно к моделям объектов, которые, в частности, удовлетворительно описывают основные контуры регулирования систем управления электроприводами (контуры регулирования напряжения, тока и частоты вращения). При составлении табл. 4.2 использовалась следующая форма записи типового пропорционально–интегрально–дифференциального регулятора (ПИД – регулятора):

.

Настроечные параметры регуляторов , и , обеспечивающие получение определенных показателей качества, принято называть гарантирующими.

Таблица 4.2

Гарантирующие настроечные параметры типовых регуляторов

для объектов без запаздывания

W0(p)	Условия приме-нения	Крите-рий	Параметры регулятора
	T024T01 T024T01	MO CO		T02 4T01
	T02T01 T01T02	CO CO		4T01 4T01	T02
	T034T01 T034T01 T024T01	MO CO CO		T03 4T01 T02	T02 T02 4T03

Вычислению параметров настройки регуляторов на основе полиномов Баттерворта предшествовала структурная оптимизация разомкнутого контура, согласно которой управляющее устройство должно содержать звенья, равные или близкие обратной передаточной функции объекта. Если такая оптимизация невозможна по условиям устойчивости, то в числителе передаточной функции замкнутой системы появляется форсирующее звено и настройку проводят, исходя из условия (критерия) симметричного оптимума (СО). Симметричному оптимуму соответствует симметричная ЛАЧХ разомкнутого контура, что и послужило причиной для названия критерия оптимизации.

В качестве примера, поясняющего выбор гарантирующих параметров настройки регулятора, рассмотрим систему, состоящую из объекта с передаточной функцией вида

и ПИ – регулятора

.

В этом случае нельзя использовать ПИ – регулятор с настройкой , полностью компенсирующей : если принять , то система станет структурно неустойчивой. При передаточная функция разомкнутого контура равна

и, соответственно,

Обозначим: (см. (4.9), (4.10), (4.11) ; ,

.

При и, соответственно, получим:

, .

Решая совместно эти уравнения, определим параметры настройки:

, .

Анализ показывает, что передаточные функции замкнутых систем, настраиваемые по критериям МО и СО, можно приближенно описать инерционным звеном первого порядка

,

где – для системы, настроенной на МО,

– для системы, настроенной на СО.

Критерий МО предпочтителен при оптимизации следящих и программных систем, а критерий СО – при настройке систем стабилизации.

Наличие в числителе , настроенной на СО, форсирующего звена приводит к значительному перерегулированию (  4045 %). Для сглаживания перерегулирований применяют сглаживающие фильтры

,

где – для астатических и статических объектов с .

При меньших отношениях постоянную времени фильтра, включаемого на входе системы, можно уменьшить. Очевидно, что включение фильтра снижает быстродействие системы.

Если в качестве формирующего фильтра на входе в систему использовать динамический оператор, полином числителя передаточной функции которого имеет тот же порядок и те же корни, что и известные

крайние правые («медленные») корни характеристического полинома замкнутой системы, определяющие ее быстродействие, то можно влияние этих корней на работу следящих систем сделать сколь угодно малым и тем самым улучшить быстродействие. Полином знаменателя формирующего фильтра может быть того же или более высокого порядка, что и полином числителя, причем корни полинома знаменателя должны компенсировать влияние производных в числителе передаточной функции замкнутой системы или находиться существенно левее значения, определяющего степень ее устойчивости.

Синтезированная таким образом система будет следить за переменным задающим воздействием так, как будто бы в ее характеристическом полиноме отсутствуют «медленные» корни. Это позволяет значительно повысить быстродействие следящих систем управления даже тогда, когда объекты управления описываются дифференциальными уравнениями высоких порядков и дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом.

Заключение. Структурно – параметрическая оптимизация систем без запаздывания возможна на основе приближения её свойств к идеальному фильтру, для чего широко используются полиномы Баттерворта, Грехэма и Летропа. Такой подход позволяет обеспечивать приемлемые для различных объектов, включая системы промышленного электропривода, показатели качества регулирования. Дальнейшее уточнение параметров настройки регуляторов может быть достигнуто методом математического моделирования.