- •Методические указания к заданию №1.
- •Способы задания множеств.
- •Операции над множествами.
- •Свойства операций над множествами.
- •Декартово произведение множеств.
- •Методические указания к заданию №2. Основные логические операции.
- •Логические функции одной переменной.
- •Логические функции двух переменных.
- •Функция 1 – логическое умножение, конъюнкция (функция и).
- •Законы алгебры логики.
- •Законы «исключенного третьего» Методические указания к заданию №3.
- •Свойство отношений:
- •Методические указания к заданиям 4, 5.
Методические указания к заданию №1.
Одним из основных, фундаментальных понятий в математики являются понятия множества и его элементов.
Множество состоит из элементов.
Принадлежность элемента а множеству М обозначается аМ, непринадлежность - аМ.
Пример: М1 – множество натуральных чисел 1,2,3, …
Обозначается N.
Часто 0 также считается натуральным числом.
Замечание: Обычно множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита, а элементы множеств – строчными буквами.
Определение: Множество, не содержащее элементов называется пустым.
Обозначается: .
Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества U (своего для каждого случая), которое называется универсальным множеством.
Определение: Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А есть элемент множества В.
Обозначается: АВ.
Если АВ и АВ, то множество А называется собственным подмножеством множества В.
Обозначается: АВ.
Определение: Множества А и В называются равными, если они являются подмножествами друг друга, т.е. выполняются два условия:
АВ
ВА
Множества могут быть конечными и бесконечными. Число элементов в конечном множестве М называется мощностью множества М.
Обозначается: М
Если А= В, то множества называются равномощными.
Способы задания множеств.
Чтобы задать множество нужно указать, какие элементы ему принадлежат.
Это можно сделать различными способами :
Перечисление элементов (список элементов). Перечислением можно задавать лишь конечные множества М{1,2,4,6,8,10};
С помощью порождающей процедуры, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных либо из других объектов М|{х х=П/2 + Пk, k N};
с помощью характеристического свойства т.е. с помощью свойств, которыми обладают элементы множества М{х |х N, х 100}.
Операции над множествами.
Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А,В. Символически можно записать | или
Пересечением множеств А и В (А В) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А и В. ={х | и
Разностью множеств А и В (А | В) называется множество в сех тех и только тех элементов множества А, которое не содержится в В.
А| В ={х | , аналогично В | А ={х | .
Симметричной разностью множества А и В (АΔВ) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежали объединению этих множеств, но не принадлежат их пересечению | .
Дополнением множества А ( ) называется множество всех элементов, не принадлежащих множеству А.
Пример 1:
А = {-10; -5; 0;1;2;3}
B = {-5; 0; 2;5;10}
АВ = {-10;-5;0;1;2;3;5;10}
АВ = {-5;0;2}
А|В = {-10;1;3}
ВА = {5;10}
АΔВ = {-10;1;3;5;10}
Пример 2:
А = (-; 3], В = (1; 5)
АВ = (-; 5)
АВ = (1; 3]
АВ = (-; 1]
ВА = (3; 5)
АΔВ = (-; 1] (3; 5)
= (3; +)
= (-; 1] [5; +)
Диаграммы Эйлера – Венна иллюстрирует операции над множествами. Сами исходные множества изображаются фигурами (овалами), а результат операции выделяется графически (штриховкой).
А
В
U
AB
А
В
U
A\B
А
В
U
AB
А
В
U
B\A
U
A
Пример 3 Доказать тождество:
\В = \( В)
Пусть М = \В
N = \( В)
Возьмем любой элемент хМ, значит х \В х , хВ (по определению разности множеств) х , х В (так как хВ ) х \( В) хN. Любой элемент множества М является элементом множества N, значит МN.
Возьмем любой элемент хN, значит х \( В) х , х ( В) х , хВ х \В хN. Любой элемент множества N является элементом множества M, значит NM.
МN, NM M =N. Следовательно, \В = \( В). Проверим правильность данного множества с помощью диаграмм Эйлера – Венна.
Множества А и В могут быть расположены по отношении друг к другу следующим обраом:
A
В
А В
А
В
В А
А, В
АВ АВ= ВА АВ А=В
Рассмотрим случай, когда множества А и В пересекаются: \В = \ ( В)
Строим диаграмму Эйлера – Венна для левой части и правой.
А
В
U
A
B
U