2.2 Расчет усилий, действующих в шарнирах крепления универсальной рамы

Составляем расчетную схему (рисунок 2) для определения внешних сил,

действующих на рабочее оборудование бульдозера. Проводим координатные оси x и у в плоскости рамы, а ось z - по нормали к ней и принимаем за начало координат точку С₂. При определении внешних сил, действующих на рабочее оборудование, принимаем допущение, что боковая составляющая Р₃ реакции грунта на отвал целиком воспринимается опорой С₂ и в этой опоре под действием силы Р₃ возникает реакция Y_C. Это допущение не вносит погрешности при определении внешних сил. Действительные значения реакции Y_C1 и Y_C2 определяются при расчете рамы как статически неопределимой системы.

Рисунок 2 - Схема сил, действующих на рабочее оборудование бульдозера

Для определения неизвестных реакций в шарнире С составим уравнения равновесия сил, действующих на рабочее оборудование: ΣМ_z=0; ΣХ=0; ΣY=0; ΣМ_х=0; ΣZ=0.

ΣМ_z = - Р₃∙l₁ + P_г1∙k∙cosθ + P_г2∙(2b-k)∙cosθ - G∙b∙sinθ₁ + X_C1∙2b = 0 (31)

ΣХ = -P₁∙cosθ₁ + P₂∙sinθ₁ + G∙sinθ₁ - 2P_г1∙cosθ - X_C1 + X_C2 = 0 (32)

ΣY = Y_C - P₃ = 0 (33)

ΣМ_х = P₃∙m₁ - P_г1∙sinθ∙k - P_г2∙(2b-k)∙sinθ + G∙b∙cosθ₁ + Z_C1∙2b = 0 (34)

ΣZ = P₁∙sinθ₁ + P₂∙cosθ₁ + G∙cosθ₁ - 2P_г1∙sinθ - Z_C2 + Z_C1 = 0 (35)

Решая эти уравнения, получим:

Х_С1 = =

= = = 47,577 кН;

Х_С2 = P₁∙cosθ₁ - P₂∙sinθ₁ - G∙sinθ₁ + 2P_г1∙cosθ + X_C1 = 212,062∙cos4⁰ -

- 234,582∙sin4⁰ - 68,67∙sin4⁰ + 2∙175,523∙cos48⁰ +47,577 = 472,846 кН;

Y_C = P₃ = 130,302 кН;

Z_C1 = =

= = 83,519 кН

Z_C2 = P₁∙sinθ₁ + P₂∙cosθ₁ + G∙cosθ₁ - 2P_г1∙sinθ + Z_C1 = 212,062∙sin4⁰ + +234,582∙cos4⁰ + 68,67∙cos4⁰ - 2∙175,523∙sin48⁰ = 56,428 кН

2.3 Расчет сил, действующих на раму

На раму действуют силы Х_С1, Z_C1, Х_С2, Z_C2 и Y_C; силы Х_А, Y_A и Z_А в шаровом шарнире А, силы в стержнях Р_В1, Р_В2, Р_Е1 и Р_Е2, силы в гидроцилиндрах Р_г1 и Р_г2 и сила тяжести G_р.

Неизвестными силами являются силы в шаровом шарнире Х_А, Y_A и Z_А и силы в стержнях Р_В1, Р_В2, Р_Е1 и Р_Е2.

Составляем расчетную схему (рисунок 3) для определения неизвестных сил, действующих на раму.

Рисунок 3 - Схема определения сил, действующих на раму

Для расчета неизвестных составим уравнения равновесия сил, действующих на раму: ΣМ_u=0; ΣХ=0; ΣY=0; ΣМ_х=0; ΣZ=0, ΣМ_z’ =0;

ΣМ_u = P_г1∙s’∙sinθ + P_г2∙s’’∙sinθ - Z_A ∙a - Z_C2∙c’’ + Z_C1∙c’ - G_p∙p∙sinθ₁ = 0; (36)

ΣМ_х = (Z_A+G_p∙cosθ₁)∙b-P_г1∙k∙sinθ-P_г2∙(2b-k)∙sinθ+Z_C1∙2b-P_B1∙2b∙sinθ₂ = 0; (37)

ΣZ = Z_A + Gp∙cosθ₁ + Z_C1 - Z_C2 - 2P_г∙sinθ - P_B1∙sinθ₂ + P_B2∙sinθ₂ = 0; (38)

ΣY = Y_C - Y_A = 0; (39)

ΣХ = -P_B2∙cosθ₂-X_C1-2P_г∙cosθ-X_A+G_p∙sinθ₁-P_E2+P_E1+X_C2+P_B1∙cosθ₂-X_A=0; (40)

ΣМ_z’ = -Y_C∙l_A + (X_C1 + X_C2)∙b - (P_B1 + P_B2)∙b∙cosθ₂ - (P_E1 + P_E2)∙b - P_г1∙(b-k)∙cosθ +

+ P_г2∙(b-k)∙cosθ = 0; (41)

P_E1 = P_E2; (42)

Решая эти уравнения, получим:

Y_A = Y_C = 130,302 кН;

Z_A = =

= =

= 140,789 кН;

P_B1 = =

= =

= - 27,47 кН;

P_B2 = =

= =

= 90,346 кН;

P_E1 = P_E2 = =

= =

= 62,963 кН;

X_A = - P_B2∙cosθ₂ - X_C1 - 2P_г∙cosθ + G_p∙sinθ₁ - P_E2 + P_E1 + X_C2 + P_B1∙cosθ₂ =

= -90,346∙cos12⁰- 47,577 -2∙175,523∙cos48⁰ +68,67∙sin4⁰ +472,846 -27,47∙cos12⁰ =

= 79,922 кН;

В рассмотренные уравнения реакция Yc в шарнирах C₁ и С₂ входит как сумма реакций Yc₁ и Yc₂, вычисленная из условий равновесия сил, действующих на бульдозер в целом. Для рас­чета рамы на прочность необходимо определить силы Yс₁ и Yc₂, каждую в отдельности (Рисунок 4).

Рисунок 4 - Схема к расчету рамы на прочность

Поскольку уравнения ста­тики не дают ответа на поставленную задачу, рассматриваем раму бульдозера как статически неопределимую плоскую раму, шарнирно закрепленную в точках С₁ и С₂ и нагруженную внеш­ними силами, действующими в ее плоскости.

Рама является статически неопределимой системой с одной избыточной связью, ограничивающей перемещение в плоскости рамы (рисунок 5, а). За избыточную принимаем связь, ограничи­вающую перемещение точки С₂ в направлении оси у. Отбрасывая эту связь и заменяя ее действием неизвестной силы Yс₂, полу­чим в качестве основной системы раму с шарнирной опорой в точке С₁ и подвижной опорой в точке С₂, нагруженную в своей плоскости силами:

X_D = X_A + 2P_г∙cosθ - G_p∙sinθ₁; (43)

Y_D = Y_A = 130,302 кН (44)

M_D = Y_A∙d (45)

X_E1 = P_E1 + P_B1∙cosθ₂ (46)

X_E2 = P_E2 + P_B2∙cosθ₂ (47)

X_C1 = 47,577 кН; X_C2 = 472,846 кН;

а) основная система рамы и эпюра изгибающих моментов; б) эпюра моментов от внешней нагрузки М_р; в) эпюра моментов от единичной силы

Рисунок 5 - Схемы определения реакций в опорах рамы:

Решая уравнения, получим:

X_D = 79,922+2∙175,523∙cos48⁰-68,67∙sin4⁰ = 310,027 кН;

M_D = 130,302∙0,54 = 70,363 кН/м;

X_E1 = 62,963 - 27,47∙cos12⁰ = 36,093 кН;

X_E2 = 62,963 + 90,346∙cos12⁰ = 151,335 кН;

и неизвестными реакциями Yc₁ и Yс₂ в опорах С₁ и С₂. Состав­ляющую от силы тяжести рамы, которая представляет собой распределенную нагрузку, рассматриваем при этом условно как сосредоточенную силу G_psinθ₁, что практически не отражается на точности расчета.

Для определения неизвестных сил используем условие, что сумма перемещений в направлении удаленной связи под действием известных внешних сил (внешней нагрузки) и неизвест­ной силы Yс₂ равна нулю. Это условие выражается:

Δ + Y_C2∙δ₁ = 0 (48)

где Δ - перемещение точки С₂ под действием внешней нагрузки;

δ₁ - перемещение под действием единичной силы Р = 1, условно приложенной вместо неизвестной силы Y.

Произведение Y_C2∙δ₁ выражает величину перемещения точки С₂ под действием силы Yc₂.

Перемещения Δ и δ₁ для рамы, жесткость которой на отдельных ее участках постоянна, могут быть определены по формулам:

; (49)

; (50)

где М_р - момент в рассматриваемом сечении от действия внеш­них сил;

- момент от условной единичной нагрузки.

Находим изгибающие моменты в сечениях рамы от внешней нагрузки (рисунок 5, б):

М_Pc2 = M_PE2 = M_PE1 = 0; (51)

M'_PD = (X_C2 - X_E2)∙b = (472,846 - 151,335)∙1,8 = 578,72 кН∙м; (52)

M''_PD = (X_C2 - X_E2)∙b - M_D = 578,72 - 70,363 = 508,357 кН∙м; (53)

M_PE = (X_C2 - X_E2)∙2b - M_D -X_D∙b - Y_D∙(l_D - a) = (472,846 - 151,335)∙3,6 -

-70,363 - 310,027 - 130,302∙(4,24-3,34) = 656,778 кН∙м (54)

и изгибающие моменты от действия единичной силы (рисунок 5, в):

; (55)

= 3,34 кН∙м (56)

= 4,24 кН∙м (57)

и строим эпюры моментов М_р (Рисунок 5, 6) и (рисунок 5, в). Ор­динаты эпюр откладываем со стороны растянутого волокна. За положительное направление ординат принимаем направление внутрь рамы.

Затем определяем площади и положение центров тяжести участков эпюры М_р и находим ординаты эпюры в сечениях, расположенных под центрами тяжести участков эпюры М_р. Вы­числения ведем по таблице 1.

Таблица 1 - Определение перемещения Δ

Участок на рисунке 5, б	Площадь ωp эпюры Мр	Ордината эпюры под центром тяжести площади ωp	Значения
С2Е2	0	––	0
Е2D		- a1	- a1
DE		- a2	- a2
ЕС1		- a	-

Подставляя значения в уравнение (49), получим:

=

Так же определяем перемещение под действием единичной силы, но в этом случае значения площади участков берутся по эпюре и множатся на ординаты этой же эпюры, взятые под центрами тяжести соответствующих площадей (таблица 2).

Таблица 2 - Определение перемещения δ₁

Участок на рисунке 5, в	Площадь ωp эпюры	Ордината эпюры под центром тяжести площади	Значения
С2Е2		- a
Е2D		- a4
DE		- a4
ЕС1		- a

Подставляя значения в уравнение (50), получим:

Подставляя найденные значения Δ и δ₁ в уравнение (48) и решая его относительно Yс₂, получим:

Yс₂ = (58)

Yс₂ = = 59,273 кН

Реакция Yc₁ определится из уравнения проекций на ось y сил, действующих на раму (рисунок 4):

ΣY = Yс₁ + Yс₂ - Y_D = 0 (59)

Yс₁ = Y_D - Yс₂ = 130,302 - 59,273 = 71,029 кН;

Фактическая эпюра моментов сил, действующих в плоскости рамы, определится путем сложения эпюры Мр с эпюрой , умноженной на величину Yc₂.

Значения изгибающих моментов в сечениях рамы (Рисунок 5, а):

M_E2 = -Y_C2∙a = -59,273∙3,34 = -197,972 кН∙м; (60)

M'_D = M'_PD - Y_C2∙l_D = 578,72 - 59,273∙4,24 = 327,402 кН∙м; (61)

M''_D = M''_PD - Y_C2∙l_D = 508,357 - 59,273∙4,24 = 257,039 кН∙м; (62)

M_E = M_PE - Y_C2∙a = 656,778 - 197,972 = 458,806 (63)