1. Випадкові події, їх класифікація, приклади. Класичне правило обчислення ймовірностей

Випадковою називають таку подію, яка при умовах, що розглядаються, може трапитися, а може й не трапитися. Випадкові події позначаються великими літерами латинського алфавіту. Наприклад, якщо кинути монету, то поява герба беде випадковою подією, тому що замість герба може з`явитися надпис.

Подія є неможливою тоді як дане явище є неможливим. Сума чисел, рівна 1 чи 12 при киданні двох кісток - події неможливі. Події рівноможливі, якщо шанси їхньої появи рівні. Поява чисел 1-6 для гральною кістки рівноможливо.

Дві несумісні події, які утворюють повну групу, називаються протилежними. Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не впливає і не виключає появу іншої. Сумісні події можуть реалізуватися одночасно, як, наприклад, поява будь-якого числа в одній кісткі не впливає на появу числа в іншій кістці. Події несумісні, тоді коли поява однієї з них виключає появу іншої. Приклад. Серед деталей в ящику є стандартні і нестандартні. Навмання беруть із ящика одну деталь. Подія А – взята стандартна деталь, подія В – взята нестандартна деталь. Ці події несумісні, тому що взята лише одна деталь, яка не може бути одночасно стандартною чи нестандартною.

Класичним правилом обчислення ймовірності випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій : P(A)= m /n.

2. Елементарна подія. Простір елементарних подій, випробування, стохастичний експеримент. Приклади. Геометричне означення ймовірності.

Подія, що може відбутися внаслідок проведення однієї і лише однієї спроби (експерименту), називається простою (елементарною) випадковою подією. Наприклад, при киданні грального кубика можуть бути шість можливих подій. Множину усіх елементарних подій називають простором елементарних подій. Наприклад, при одноразовому киданні монети простір елементарних подій містить дві події, при дворазовому – 4. Випробування — реальний або мислений експеримент (виконуваний за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню. Прикладами випробування є: виготовлення деталі або виробу, кидання монети або грального кубика, розігрування лотереї, проведення аукціону. Експеримент називається стохастичним, якщо його можна повторити необхідну кількість разів, і його результати кожного разу передбачити неможливо. Стохастичними експериментами можуть бути, наприклад, підкидання кубика, монетки, підрахунок кількості студентів що прийшли на лекцію, чи спроба підключення до інтернету (ви ніколи не можете бути впевненими що підключитись вдасться, поки не спробуєте). Геометричне означення ймовірності: Якщо простір елементарних подій W можна подати у вигляді деякого геометричного образу, а множину елементарниx подій для події А — як частину цього геометричного образу, то ймовірність події А визначається як відношення мір цих множин:

3. Відносна частота, статистична ймовірність події, статистична модель стохастичного експерименту. Основні властивості ймовірності. Відносною частотою події А називають відношення числа випробувань, у яких подія А з`явилась, до числа фактично виконаних випробувань. Статистичною ймовірністю подій називають відносну частоту або число, близьке до неї. Якщо подія достовірна, то її імовірність дорівнює 1, якщо неможлива, то 0, якщо випадкова, то її ймовірність знаходиться в межах від 0 до 1 – це і є основними властивостями імовірності

4. Комбінаторика. Основні правила комбінаторики. Означення факторіала і перестановок Комбінато́рика — розділ математики, присвячений розв'язанню задач вибору та розташування елементів деякої, зазвичай скінченної, множини відповідно до заданих правил. Кожне таке правило визначає спосіб побудови деякої конструкції із елементів вихідної множини, що зветься комбінаторною конфігурацією. Тому на меті комбінаторного аналізу стоїть дослідження комбінаторних конфігурацій, алгоритмів їх побудови, отпимізація таких алгоритмів, а також розв'язання задач переліку. Найпростішими прикладами комбінаторних конфігурацій є перестановки, розміщення, комбінація та розбиття. Двома основними правилами комбінаторики є: принцип суми. Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, і ці множини не перетинаються, то AB містить m+n елементів. Принцип добутку. Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, то AB містить mn елементів, тобто пар. Скорочення n!=1 · 2 · 3 · ... · (n-1) · n називається факторіалом числа n (читається n-факторіал). Сполуки з п-елементів, що відрізняються лише порядком елементів називаються перестановками цих елементів. Кількість перестановок цих елементів позначають Рп і знаходять за допомогою факторіала від п.

5. Розміщення, комбінації та їх властивості Розміщенням із n елементів по m (0 m n) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом: = n! /(n-m)! Комбінаціями з n елементів по m (0 m n) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом: = n! / m!(n-m)! Основні властивості розміщень:

1) ;

2)

Властивості комбінацій: 1)

2)

3)

4)

5)

6. Операції над подіями, приклади 1. Додавання. Сумою подій А і В називається така подія С=А+В (С=АВ), яка полягає у появі подій А або В або А та В. Операція АВ називається об’єднанням подій А і В

А

В

АВ

Наприклад, якщо подія А є влучення в ціль при першому пострілі, подія В – при другому, то подія С = А + В є влучення в ціль взагалі, байдуже, при якому пострілі – першому, другому або при обох разом.