Задача № 2 з теорії ймовірностей

Дати означення дискретного ланцюга Маркова, істотних та неістотних станів та зробити класифікаціюстанів ланцюга з матрицею перехідних ймовірностей :

.

Озн: X₁, X₂,…, X_n,… послідовність випадкових величин, кожна з яких приймає значення з множини X_n={0,1,2,…}, називається ланцюгом Маркова, якщо має місце властивість: для будь-яких n₁<n₂<…<n_k

за n кроків. - матриця перехідних ймовірностей. Перехідна ймовірність ланцюга Маркова за один крок: . - матриця.

Стан і назив. неістотним, якщо існують такі числа m (число кроків) та стан j, що ми можемо перейти зі стану i в j за m кроків >0, але для всіх n>=1 .

Нехай d(i) найбільший спільний дільник тих n , для яких . Якщо d(i)>1, то і періодичний, d(i)=1, то і неперіодичний.

Розв'язок.

Класифікацію проводимо за таким планом:

1. Чи є матриця стохастичною (Матриця стохастична , коли сума чиел в кожному рядку = 1)

2. Які стани є суттєвими а які ні. (Стан А суттєвий, коли: для будь якого стану В, якщо В досяжний з А то А досяжний із В. А досяжний із В якщо ймовірність потрапити з А до В за n кроків більше нуля хочаб для одного натурального n.)

3. Які стани є періодичними а які ні. (Стан є періодичним якщо НСД( Pn ,n >0)) >1 , де Pn – ймовірність повернутися в наш стан рівно за n кроків)

4. Чи є ЛМ звідним чи ні (суттєві стани ЛМ за відношенням „досяжності" розбивається на класси еквівалентності. Якщо таких классів лише один – то ЛМ –незвідний.)

1) Матриця стохастична

2) Суттєві : 5,4. Несуттєві – 1,2,3 (бо можнв потрапити в 4 а назад не можна)

3) 2,3,4,5 – неперіодичні бо P1>0 і тому НСД =1. 1 – неперіодичний бо можна потрапити назад за 2 і за три кроки.

4) Незвідний. Один класс – (4,5).

Задача № 3 з теорії ймовірностей

Дати означення характеристичної функції та довести, що сума двох незалежних випадкових величин, що мають розподіл Пуассона з параметрами , відповідно, має пуассонівський розподіл з параметром .

Властивість : Якщо - незалежні, то

.

Знайдемо характеристичну функцію для розподілу Пуассона

Нехай тепер

.

Зауважимо, що характеристична функція – повністю визначає розподіл. Оскільки, якщо , то , то і мають однаковий розподіл. Отже, .

Задача № 4 з теорії ймовірностей

Дати означення ефективної оцінки та перевірити на ефективність оцінку параметра розподілу Пуассона.

Оцінка називається ефективною, якщо в нерівності Крамера-Рао досягається рівність. Тобто . Де - кількість інформації за Фішером.

,

де .

Всюди далі .

Перевіримо на ефективність (вибіркове середнє є оцінкою для матсподівання )

Отже

Тепер і

Отже . Тому оцінка є ефективною.

Задача № 5 з теорії ймовірностей

Побудувати критерій перевірки гіпотези про рівність математичних сподівань при відомих дисперсіях для нормального розподілу.

При побудові критеріїв для перевірки статистичних гіпотез діють наступним чином:

Обирається деяка статистика , яка являється мірою розбіжності статистичного і теоретичного законів розподілу і називається статистикою критеріїв або критерієм. Далі знаходять розподіл в припущенні, що розподіл спостережень співпадає з гіпотетичним.

Визначають таке , щоб , де - число (рівень значущості). Якщо міра обчислена по спостереженням , тоді відхилення від теоретичного розподілу вважається значущим і гіпотеза відхиляється. Якщо ж , то дані експерименту не суперечать гіпотезі.

Необхідно перевірити гіпотезу проти альтернативної гіпотези і - відомі.

Випадкові величини мають нормальний розподіл і відповідно. Тоді має нормальний розподіл . Якщо вірна гіпотеза , то має стандартний нормальний розподіл . Тоді критична область задається нерівністю

,

- реалізації вибірок і ,