Задача 4

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос У(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд У (t) этого показателя приведен ниже.

Номер наблюдения ( t=1,2,…,9)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
20	27	30	41	45	51	51	55	61

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель Ŷ(t)=a₀+a₁t, параметры которой оценить МНК (У(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Построить адаптивную модель Брауна Ŷ(t)=a₀+a₁k с параметром сглаживания α=0,4 и α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.

4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70%).

7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.

Решение:

1. Проверим ряд на наличие аномальных наблюдений, используя метод Ирвина.

Для подозреваемых в аномальности наблюдений вычисляется величина ,

где .

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	20	27	30	41	45	51	51	55	61
λ(t)	-	0,5	0,2	0,8	0,3	0,4	0,0	0,3	0,4

Для девяти наблюдений табличный уровень критерия Ирвина равен 1,4, так как полученные λ_t меньше критического уровня, то это означает, что аномальных наблюдений нет.

2. Для построения линейной модели произведем подсчет данных по формулам:

Следовательно, уравнение модели:

Ŷ(t)=a₀+a₁t

Ŷ(t)=17,3+5*t

	t	yt
	1	20	-4	16	-22,3	89,2	22,3
	2	27	-3	9	-15,3	45.9	27,3
	3	30	-2	4	-12,3	24,6	32,3
	4	41	-1	1	-1,3	1,3	37,3
	5	45	0	0	2,7	0,0	42,3
	6	51	1	1	8,7	8,7	47,3
	7	51	2	4	8,7	17,4	52,3
	8	55	3	9	12,7	38,1	57,3
	9	61	4	16	18,7	74,8	62,3
Сумма	45	381	0	60	0,3	300,0	380,7
Среднее	5	42,3	0	6.7	0,03	33,3	42,3

Так как сумма расчетных значений (t) примерно равна сумме фактических y_t, то уравнение модели найдено верно.

3. Построим адаптивную модель Брауна 1

1). По первым пяти точкам ряда оцениваем значения а₁ и а₀ параметров модели с помощью метода наименьших квадратов для линейной аппроксимации:

.

Получаем начальные значения параметров модели = ,

=32,6-6,4*3=13,4, которые соответствуют моменту времени t=0.

2). Находим прогноз на первый шаг: =

3). Находим величину отклонения .

Все расчеты в таблице 4.1 показаны для α=0,4;β=0,6.

4). Корректируем параметры модели и (t=1):

a_0(t) = a_0(t-1) + a_1(t-1) + (1 – β²) е _(t) = 13,4 + 6,4 + (1 – 0,6²) ∙ 0,2 = 19.9

a_1(t) = a_1(t-1) + (1 – β) ² е _(t) = 6.4 + (1 – 0,6) ² ∙ 0,2 = 6.4

Вычисления повторяем до конца наблюдений.

Таблица 4.1

t	yt	a0	a1		et
0		13,4	6,4	-	-
1	20	19,9	6,4	19,8	0,2
2	27	26,8	6,5	26,4	0,6
3	30	31,2	6,0	33,3	-3,3
4	41	39,6	6,6	37,2	3,8
5	45	45,4	6,4	46,2	-1,2
6	51	51,3	6,3	51,9	-0,9
7	51	53,4	5,2	57,6	-6,6
8	55	56,3	4,6	58,6	-3,6
9	61	61,0	4,7	60,9	0,1

Построим адаптивную модель Брауна 2

Производятся аналогичные расчеты для α = 0,7; β = 0,3 (табл.4.2)

Таблица 4.2

t	yt	a0	a1		et
0		13,4	6,4
1	20	20,0	6,5	19,8	0,2
2	27	27,0	6,8	26,5	0,5
3	30	30,3	4,9	33,7	-3,7
4	41	40,5	7,7	35,3	5,7
5	45	45,3	6,2	48,2	-3,2
6	51	51,0	5,9	51,5	-0,5
7	51	51,5	3,0	57,0	-6,0
8	55	55,0	3,2	54,5	0,5
9	61	60,7	4,6	58,2	2,8