Метод Ньютона для відшукання верхньої межі коренів

Розглянемо рівняння виду , де рівняня з дійсними коефіцієнтами , то ді буде справедлива теорема

Теорема

Якщо для виконується тоді число є верхньою межею коренів рівняння.

Знаходити число можна наступним чином

тоді є зростаючою функцією аргумента Тоді знайдеться деяке число , що при . Тоді є зростаючою функцією аргумента , Тоді знайдеться деяке число , що при і так далі …… є зростаючою функцією . може бути верхньою межею коренів рівняння

Приклад

Метод Штурма

Розглянемо рівняння виду , з коефіцієнтами, яке не має кратних коренів. Складемо систему функцій Штурма де остача від ділення взята з протилежним знаком

остача від ділення взята з протилежним знаком

Система функцій виду (5), а також будь-яка інша отримана з (5) шляхом множення на деякий додатній коефіцієнт називається системою функцій Штурма

система функцій Штурма збігається з (5) з точністю до сталого додатного множника.

Нехай всі корені виду (2) містяться на проміжку .

кількість перемін знаком у системі функцій (7)

кількість перемін знаком у системі функцій (8)

Теорема

Якщо рівняння виду немає кратних коренів і не є коренями цього рівняння, то і кількості коренів які розташовані на проміжку .

Приклад. Відокремити корені рівняння .

Знаходимо межі коренів рівняння: верхня межа, по Маклорена

Нижня межа

-4					3
2					0

-4					3
2					0
-3					3
-2,1					2
-1					2
0,1					1
1					0

Методи уточнення коренів. Ітераційні методи розв’язання алгебраїчних та рівнянь

Нехай нам потрібно розв’язати алгебраїчне рівняння .

Нехай відомо достатньо малий проміжок на якому міститься один корінь виберемо деяке початкове наближення на цьому проміжку і за допомогою деякого рекурентного співвідношення будуємо послідовність точок що буде збігатися до розвязку

Збіжність послідовності забезпечуємо вибором функції . Зазвичай у нас використовується залежність він є одночасно розв’язком рівняння (1)і(3). Будемо підбирати і будувати інтерполяційний процес за формулою

Метод простої ітерації

Нехай маємо , на якому міститься один корінь і маємо початкове наближення дане рівняня перепишемо у вигляді .

Від (1) до (2) ми можемо перейти різними способами де функцію можемо вибирати як

,

деяка функція яка зберігає свій знак на проміжку , дана функція може бути вибрана як константа.

Покажемо що при такому виборі рівняння (1)і(2) були еквівалентними

Нехай є коренями рівняння

Припустимо що є розв’язком рівняння (2) ; маючи початкове наближення, згідно методу простої ітерації, кожне наступне наближення буде вибиратися

Згідно методу простої ітерації

Умова завершення ітераційного процесу

Збіжність методу простої ітерації буде визначатися нерівністю

Збіжність методу буде з того боку з якого виберемо початкове наближення

Розглянемо односторонню збіжність