5.3.2 Изучение основной тенденции временного ряда. Выравнивание рядов динамики

Существует два метода выравнивания:

• механическое;

• аналитическое.

Любое выравнивание предполагает замену фактических уровней изучаемого ряда на теоретические, полученные в результате определенных расчетов и в той или иной мере очищенные от влияния случайных колебаний.

Механическое выравнивание осуществляется двумя способами:

• укрупнение интервалов

• метод скользящей средней

Пример: имеются данные о выпуске продукции на предприятии по месяцам.

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Выпуск продукции (млн. руб.)	5,1	5,4	5,2	5,3	5,6	5,8	5,6	5,9	6,1	6,0	5,9	6,2

1) Метод укрупнения интервалов предполагает объединение временных периодов и расчет по ним либо суммарных значений показателей, либо средних величин.

Результат укрупнения интервалов будет выглядеть:

квартал	Выпуск продукции (млн. руб)
	в абсолютном выражении	среднемесячный
I	15,7	5,2
II	16,7	5,6
III	17,6	5,9
IV	18,1	6,0

2) Метод скользящей средней.

Предполагает расчеты среднего уровня за определенный временной интервал и дальнейшее продвижение интервала на один шаг.

Рассчитанные средние (выровненные) уровни относятся к середине интервала, по которому рассчитываются средние

Если период скольжения – четная величина, то применяют прием центрирования.

Прием центрирования выражается в подсчете средней арифметической величины из значений, полученных по двум шагам скольжения.

Увеличение периода скольжения позволяет более отчетливо проявиться основной тенденции, однако существенно укорачивает изучаемый временной ряд, что неблагоприятно может сказаться на качестве трендовой модели.

Аналитическое выравнивание позволяет не только выявить основную тенденцию ряда, но и получить аналитическую форму тренда. Уравнение тренда – это парное уравнение регрессии, в качестве фактора в котором выступает время:

, где y – уровень временного ряда

a, b – параметры уравнения тренда

t – время.

Расчет параметров трендовой модели осуществляется с использованием метода наименьших квадратов.

Прежде чем получить трендовую модель, нужно выбрать уравнение тренда, лучшим образом описывающее реальную тенденцию изучаемого ряда. Выбор уравнения тренда может быть осуществлен:

1. На основе графического представления временного ряда. На графике по оси абсцисс откладываются периоды или моменты времени, по оси ординат – уровни временного ряда.

2. Теоретический анализ объекта исследования и анализ показателей изменения уровней динамического ряда. Очень часто используется метод конечных разностей. Так если примерно постоянными являются первые разности (абсолютные приросты), то можно использовать полином первой степени (линейную функцию). Если примерно постоянными являются вторые разности (ускорение), то следует использовать полином второй степени и так далее.

3. В настоящее время выбор лучшей функции для описания тренда формализован, то есть осуществляется с использованием пакетов прикладных программ на основе определенных критериев.

Поскольку основная задача построения уравнения тренда – это лучшая аппроксимация имеющихся фактических данных, то среди критериев отбора можно выделить следующие:

• минимизация суммы квадратов отклонений фактических значений от значений, полученных в уравнении тренда

, где

- фактические уровни ряда;

- теоретические, выровненные, полученные на основе уравнения тренда уровни ряда.

• стандартная ошибка

, где

n – длина динамического ряда;

m – число факторов, включенных в анализ.

• среднее линейное (абсолютное) отклонение.

Средняя ошибка аппроксимации

• F-критерий Фишера → max

• коэффициент детерминации R² → max

Основным критерием качества трендовой модели является оценка остатков трендовой модели на наличие автокорреляции. Остатки – это разность между фактическими значениями уровней временного ряда и выровненными значениями, то есть полученными по уравнению тренда.

Автокорреляция в остатках – зависимость последующих остатков от предшествующих.

Оценка автокорреляции в остатках может быть проведена с использованием парного коэффициента корреляции или специального критерия – критерия Дарвина-Уотсона (D-W).

-

-

-

…

-

- остаток;

- фактическое значение;

- теоретическое значение.

- остаток периода, предшествующего периоду t.

Корреляционная зависимость между l_t и l_t-1 – автокорреляция в остатках.

Наличие автокорреляции в остатках свидетельствует о наличии тенденции в остатках. Поскольку трендовая модель должна полностью описывать основную тенденцию ряда, то сохранение тенденции в остатках говорит о том, что модель не может быть признана удовлетворительной.

Коэффициент автокорреляции Езекиэла и Фокса

, -1 ≤ r_q ≤ 1

Близость значения коэффициента к нулю означает отсутствие автокорреляции. Если величина близка к единице – наличие автокорреляции в остатках.

Критерий Дарвина-Уотсона

Между критерием Дарвина-Уотсона и коэффициентом автокорреляции существует соотношение:

D-W ≈ 2(1 – r_a)

Исходя из этого соотношения:

если в остатках нет автокорреляции (то есть r_a =0), то D-W = 2

если в остатках фиксируется полная положительная корреляция, то D-W = 0

если r_a = -1 , то D-W = 4

0 ≤ D-W ≤ 4

Близость к нулю и к четырем – присутствие автокорреляции в остатках от трендовой модели, к 2 – отсутствие.

Чтобы избежать субъективности оценок, обычно пользуются таблицами критерия D-W. По таблицам исходя из длины динамического ряда (числа уровней в динамическом ряду) и числа факторов в уравнении тренда находят границы критерия D-W₁ и D-W₂.

D-W_факт < D-W₁ - автокорреляция в остатках присутствует

D-W_факт > D-W₂ - автокорреляция в остатках отсутствует

D-W₁ ≤ D-W _факт ≤ D-W₂ - ситуация неопределенности, что требует дальнейшее исследование ряда и в частности построение ряда в условиях увеличения длины ряда.