komplexnum

А. А. КИРСАНОВ

КОМПЛЕКСНЫЕ

ЧИСЛА

ПСКОВ 2002

1

ББК 517.3 К435

Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского совета ПГПИ им. С.М. Кирова

Рецензент: Медведева И.Н., кандидат физ. мат. наук,

доцент кафедры алгебры и геометрии ПГПИ им. С.М. Кирова.

Кирсанов А.А.

К435 Комплексные числа. Псков: ПГПИ, 2002 - 28 с.

Учебно-методические рекомендации для самостоятельного изучения темы «Комплексные числа»

в курсе линейной алгебры.

К435

Издано в авторской редакции.

©Псковский государственный педагогический институт им. С.М. Кирова, 2002

(ПГПИ им. С.М.Кирова), 2002

©Кирсанов А.А., 2002

2

1. Понятие числового поля

Одним из простейших числовых множеств является мно-

жество натуральных чисел N :

N= {1,2,3,...}.

Внём всегда выполнимы два основных алгебраических действия: сложение и умножение.

Это означает, что для любых натуральных чисел m и n

m + n и m × n

есть снова натуральные числа.

При этом выполнены следующие аксиомы:

1.m + n = n + m - коммутативный закон сложения;

2.(m + n)+ l = m + (n + l) - ассоциативный закон сложения;

относительно сложения.

Операции вычитания и деления на множестве натураль- ных чисел N в общем случае невыполнимы, так, например

3-5, 2-2, 4:7, 11:3

не являются натуральными числами.

Для выполнения действия вычитания множество натураль- ных чисел N расширяют до множества всех целых чисел Z :

Z = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}.

Числовое множество в котором всегда выполнимы опера- ции сложения и умножения в соответствии с аксиомами 1-5, а также операция вычитания называется кольцом.

Таким образом множество всех целых чисел образует кольцо.

Для того, чтобы сделать выполнимой операцию деления следует

добавить к множеству всех целых чисел Z множество всех обыкновенных дробей вида

3

m

n , n ¹ 0 ,

где m и n - произвольные целые числа.

В результате такого расширения мы получили множество всех рациональных чисел Q .

Очевидно, что в таком множестве выполнены действия сло- жения, умножения, вычитания и деления при n ¹ 0 .

Множество чисел в котором всегда выполнимы действия сложения и умножения в соответствии с аксиомами 1-5, а также действия вычитания и деления при n ¹ 0 , называется полем рациональных чисел.

Заметим, что множество иррациональных чисел поля не образует, так как 2 × 2 = 2 , 2 - 2 = 0 не являются ирраци-

ональными числами.

Объединив множества рациональных и иррациональных чисел мы получим множество вещественных чисел R кото- рое образует поле вещественных чисел.

2. Комплексные числа

Полученное нами множество вещественных чисел R не по- зволяет нам извлекать корни из отрицательных чисел, напри-

ственных чисел R путём присоединения к нему новых чисел, таких, чтобы расширенное множество образовало числовое поле, в котором было бы всегда выполнимо действие извлече- ния корней.

Каким же должно быть это поле?

4

Во первых, оно должно содержать в себе поле веществен- ных чисел R . Далее, в этом поле должно быть решено урав-

нение

x2 = −1.

Число, квадрат которого равен -1, будем обозначать бук- вой i и назовём его мнимой единицей.

Итак,

i2 = −1 или −1 = i .

Так как новое множество должно быть полем, оно наряду с вещественным числом b и мнимой единицей i должно содер- жать их произведение bi , а также и сумму

a + bi ,

где a,b R , i - мнимая единица.

Число

z = a + bi

назовём комплексным числом и обозначим множество всех ком-

плексных чисел символом C .

Число a ÎR называется вещественной (действительной)

считать равными, если равны их действительные части и коэф- фициенты при мнимой единице, т.е.

z1 = z2

если

5

a1 = a2 и b1 = b2 .

Для вещественных чисел мы можем установить понятие “больше” или “меньше”, например:

7 < 9 , 12 > 6 .

Для неравных комплексных чисел такое соотношение ус- тановить нельзя. Мы, например, не можем сказать в каком от-

ношении находятся два неравных комплексных числа

6 + 9i и 2 - 9i .

3. Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i

будем называть комплексное число

Таким образом при сложении двух комплексных чисел надо сложить их действительные части и коэффициенты при мни- мой единице.

В области вещественных чисел имеется число “нуль”, та- кое, что

a + 0 = a .

В области комплексных чисел такую роль будет играть

0 + 0 × i .

(a + bi)+ (0 + 0i)= (a + 0)+ (b + 0)i = a + bi .

Комплексное число - a - bi будем называть противопо- ложным комплексному числу a + bi .

Примеры.

1)(2 + i)+ (5 + 6i)= (2 + 5)+ (1 + 6)i = 7 + 7i ,

2)(5 + 7i)+ (2 − 6i)= (5 + 2)+ (7 − 6)i = 7 + i ,

3)(6 − 4i)+ (−15 − 2i)= (6 −15)+ (− 4 − 2)i = −9 − 6i ,

6

4)(- 4i)+ (9)= (0 - 4i)+ (9 + 0i)= 9 - 4i .

5)Решить уравнение (5x + 3yi)+ (2y - xi)= 9 + 5i .

Сложив комплексные числа в левой части уравнения по-

лучим

(5x + 2y)+ (- x + 3y)i = 9 + 5i .

Два комплексных числа равны, если равны их действитель- ные части и коэффициенты при мнимой единице, т.е.

ì5x + 2y = 9,

íî- x + 3y = 5.

Нетрудно показать, что решением данной системы урав- нений будет x =1 и y = 2 .

Упражнения

7)(2x − 5yi)+ (3y + 2xi)=13 − i ,

8)7 (3x + 2yi)+ (2y − i)=19 + 3 .

4. Вычитание комплексных чисел

Разностью двух комплексных чисел

z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i

будем называть комплексное число

z = z1 − z2 = (a1 − a2 )+ (b1 − b2 )i .

7

Пример

1) (5 + 6i)- (3 + 7i)= (5 - 3)+ (6 - 7)i = 2 - i .

5. Умножение комплексных чисел

Потребуем, чтобы умножение комплексных чисел

z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i

выполнялось по правилу умножения двучленов, т.е.

z= z1 × z2 = (a1 + b1i)× (a2 + b2i)=

=a1a2 + (a1b2 + b1a2 )i + b1b2i2 = i2 = -1 =

=(a1a2 - b1b2 )+ (a1b2 + b1a2 )i.

Примеры

1)(2 + 3i)× (6 - 5i)= (2 × 6 - 3 × (- 5))+ (2 × (- 5)+ 3 × 6)= 27 + 8i ,

2)(1 + i)× (1 + i)=1 + i + i + i2 =1 + 2i -1 = 2i ,

3)(2 + 3i)× (2 - 3i)= 4 - 6i + 6i - 9i2 = 4 + 9 =13 .

4)Найти z если (2 - 3i)× z = -1 - 5i .

8

Пусть x = a + bi , тогда

(2 - 3i)× (a + bi)= (2a + 3b)+ (- 3a + 2b)i = -1 - 5i ,

что равносильно системе уравнений

ì2a + 3b = -1, íî- 3a + 2b = -5.

Решением данной системы уравнений будет a =1 , b = −1 , т.е.

z =1 − i .

Проверим полученное решение

(2 - 3i)× z = (2 - 3i)× (1 - i)= 2 - 2i - 3i + 3i2 = -1 - 5i .

6. Деление комплексных чисел

Соотношение

z = z1 z2

будем понимать в смысле, что

z1 = z × z2 .

Пусть z = x + yi , z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i , тогда

z1 = z × z2 = (x + yi)× (a2 + b2i)= a1 + b1i .

В соответствии с (2) последнее выражение запишется так:

9

a1 + b1i = a2 x - b2 y + (a2 y + b2 x)i ,

(a2 x - b2 y)a2 + (b2 x + a2 y)b2 = a22 x - a2b2 y + b22 x + a2b2 y =

= (a22 + b22 )x = a1a2 + b1b2.

Откуда

x = a1a2 + b1b2 .

a22 + b22

Умножив первое равенство (*) на b2 , а втрое - на a2 и выч- тя их, получим:

(a2 x - b2 y)b2 - (b2 x + a2 y)a2 = a2b2 x - b22 y - a2b2 x - a22 y =

(- a22 - b22 )y = a1b2 - b1a2.

10