19) Угловая скорость и угловое ускорение при сферическом движении твердого тела

П о теореме Даламбера-Эйлера за малое время   движение тела можно представить как вращение вокруг неподвижной оси   с некоторой угловой скоростью   

Тогда скорость точки  :     В пределе, при  , угловая скорость   будет приближаться к мгновенной угловой скорости  , направленной по мгновенной оси вращения  , а скорость точки  - к истинному значению:

  .                           

Но таким же образом находится скорость точки при вращении тела вокруг оси, по которой направлен вектор  , в нашем случае – по мгновенной оси вращения  . Поэтому скорость точки можно определить как скорость её при вращении тела вокруг мгновенной оси  . Величина скорости    

Рис. 9.9.

Определение скоростей то­чек тела значительно упроща­ется, если извест­на мгновенная ось вращения  . Иногда её можно найти, если уда­стся обна­ружить у тела хотя бы ещё одну точку, кроме  , скорость кото­рой в данный момент равна нулю, и провести ось  из не­подвижной точки О через эту точку. Так как мгновенная ось вращения – геометрическое ме­сто точек, скорости которых равны нулю в данный момент времени.

Ускорение точек тела.

Сначала  определим  угловое  ускорение  тела   .

При  движении тела  вектор  угловой  скорости   изменяется и по  величине, и по направлению. Точка распо­ложен­ная  на его конце будет двигаться по  некоторой  траектории  со  скоростью    (рис.25).

Если рас­сматривать вектор   как ра­диус-вектор этой точки, то   .

И так. Угловое  ускорение  тела  можно  опреде­лить как скорость точки, расположенной на конце вектора угловой скорости:

.

Этот результат называется теоремой Резаля.

Теперь обратимся к определению ускорения точек. Ускорение какой-либо точки  тела

,

есть сумма двух векторов.

Первый вектор  . Модуль его  , где h₁ – расстояние от точки   до вектора  . Направлен он перпендику­лярно   и  . Но таким  же способом определяет­ся касательное ускорение. Поэтому первую   состав­ляющую  ускорения определяют   как  ка­сательное ускорение,  предпола­гая,  что  тело  вращается  вокруг оси, совпадающей с векто­ром   . И обо­значается  этот вектор ускорения так

    

Второй вектор   Модуль его  , но  , т.к. векторы   и   перпендикулярны друг другу.

Значит  ,  где h₂ – расстояние от точки М до мгновенной оси  , до вектора  .

Направлен вектор     перпендикулярно   и  , т.е. так же как вектор нормального  ускорения  при вращении  вокруг оси  , или вектора  . Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так:

     

Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений:

Этот результат называется теоремой Ривальса.

20) Разложение движения свободного тела на поступательное и вращательное.

21) Относительное, переносное и абсолютное движение точки.

1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвиж­ной системе отсчета (к осям Oxyz), называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе с ними). Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относи­тельной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Oxyzназывается относительной скоростью (обозначается  ), a ускорение - относительным ускорением (обозначается  ). Из определения следует, что при вычислении   и   можно движение осей Oxyz во внимание не принимать (рассматривать их как непод­вижные).

2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Oxyz (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отно­шению к неподвижной системе  , является для точки М пере­носным движением.

Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Oxyz точки m, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается  ), а ускорение этой точки m - переносным ускорением точки М (обозначается  ). Таким образом,

.

3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета  , называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекто­рией, скорость - абсолютной скоростью (обозначается  ) и ускорение - абсолютным ускорением (обозначается  ).