- •Математический анализ
- •Числовые ряды (сходимость числовых рядов; сходимость рядов с неотрицательными членами, признаки их сходимости; абсолютно сходящиеся ряды, их свойства; условно сходящиеся ряды).
- •Производная функции в точке. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Формула Тейлора.
- •Интеграл Римана (определение, существование, свойства; дифференцируемость интеграла Римана по верхнему пределу). Существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Достаточные условия локального экстремума.
- •Производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных.
- •Двойной интеграл Римана (сведение двойного интеграла к повторному; замена переменных в двойном интеграле; кратные интегралы).
- •Криволинейные и поверхностные интегралы (формула Грина; условия независимости криволинейного интеграла от формы пути).
- •Криволинейные и поверхностные интегралы. Формула Остроградского. Формула Стокса.
Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Формула Тейлора.
Т(Ферма). Пусть f определена в некоторой окрестности U(x0) и принимает в x0 наибольшее или наименьшее значение по сравнению со значением f в окрест-ности U(x0), тогда если в x0 (x0) хотябы в широком смысле, то она равна нулю.
Доказательство. , . Пусть например x0 наибольшее значение, тогда (*) при x>x0, x U(x0); (**) при x<x0, x U(x0), тогда , т. к. , то они равны нулю и .
Т(Ролля). 1. f непрерывна на [a;b]; 2. Диф-ма на (a;b); 3. f(a)=f(b), тогда .
Доказательство. Т. к. f(x) непрерывна на [a;b], то она ограничена и достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения. Если и наибольшее и наименьшее принимаются в концах: , тогда . Пусть одно из наибольшего или наименьшего во внутренней точке отрезка, применяем теорему Ферма .
Т(Лагранжа). 1. f непрерывная на отрезке [a;b]; 2. Диф-ма на (a;b);, тогда .
Доказательство. Рассмотрим функцию F(x)=f(x)- (x-a); 1. F(x) непрерывна на [a;b]; 2. производная. F(a)=f(a), F(b)=f(a) применим теорему Ролля ,
.
Т(Коши). Пусть 1. Функции f и g непрерывны на [a;b]; 2. Дифференцируемы на (a;b); 3. на (a;b), тогда .
Доказательство. Докажем, что от противного. Предположим g(b)=g(a), тогда теорема Ролля применима к функции g, получили противоречие с условием 3. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x)=f(x)- . Для F(x) выполнимы условия теоремы Ролля .
Формула Тейлора. Пусть f диф-ма в точке x0, , . Если f(x) имеет производную1-го порядка, то f представима в виде многочлена первой степени +0(x-x0)1.
Опр. Пусть f имеет производную до n-го порядка включительно в точке x0. Многочленом Тейлора функции f в точке x0 наз мн-н
Pn(x)=f(x0)+ , Pn(x)= . - формула Тейлора в дифференциалах.
Непрерывные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Опр. Пусть f определена в некоторой окрестности точки x0, f наз непр в т. x0, если . По Гейне: какую бы ни взять (xn) x0, соответствующая посл-ть значений f(xn) f(x0). По Коши: >0 >0 удовлетворяющих неравенству имеем
Пусть f задана на отрезке [a;b], f наз непр на отрезке, если f непрерывна во всех точках из интервала (a;b), непр справа в точке a и непр слева в точке b.
Т(Вейерштрасса): Если f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то f(x) ограничена на отрезке [a;b] и достигает на нем своей точной верхней и нижней грани.
Доказательство: (от противного) Пусть f не ограничена на [a;b], пусть например f неограничена сверху, тогда можно говорить, что sup f(x)=+ (sup всех чисел которые могут быть получены при x [a;b]) x1 [a;b]: f(x1)>1, x2 [a;b]: f(x2)>2, , xn [a;b]: f(xn)>n, Имеем последовательность (xn) точек отрезка, то сходящящаяся последовательность с другой стороны f непрерывна в x0, x0 и следовательно . Доказана ограниченность f на отрезке [a;b]. Докажем, что f достигает своей точной верхней грани; обозначим . x1 [a;b]: f(x1)>M-1, x2 [a;b]: f(x2)>M- , , xn [a;b]: f(xn)>M- , (xn) последовательность точек отрезка сходящаяся подпоследовательность ; ; M- < при
Т(Больцано-Коши)Если f непр на [a;b] и на концах его принимает знач равных знаков, то
Т(Больцано-Коши. О промежуточном значении)
Если f непрерывна на отрезке [a;b], то для любого с лежащего между f(a) и f(b), то c [a;b]: f(c)=c; т.е.f принимает все промежуточные значения от f(a) до f(b).
Доказательство. Пусть f(a)< f(b, рассмотрим ф-wb. , , , по пред теореме т. с [a;b]: ,т.е. f(c)=с.