2.4. Расчеты стержней на прочность и жесткость

Задача 2.4.1: Допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа. Диаметры круглых поперечных сечений стержней d₁ и d₂ в мм будут равны …

Варианты ответов:

1) 18,08 и 19,37; 2) 10,17 и 10,93; 3) 11,74 и 16,60; 4) 20,4 и 21,85.

Решение:

1) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении площади сечения. Для круглого поперечного сечения площадь сечения равна , а не .

2) Ответ неверный! Неправильно найдены продольные усилия. Усилия в стержнях определяются методом сечений путем вырезания узла А. Из уравнений проекций всех сил на оси у, х получим:

3) Ответ неверный! Неправильно найдены продольные усилия. Допущена ошибка в определении синуса и косинуса угла. Усилия в стержнях определяются методом сечений путем вырезания узла А. Из уравнений проекций всех сил на оси у, х получим:

4) Ответ верный. Усилия в стержнях определяются методом сечений путем вырезания узла А.

  Из уравнений проекций всех сил на оси у, х получим: Диаметры стрежней определяются из условий прочности: . Площади поперечных сечений . Тогда

Задача 2.4.2: Допускаемое напряжение материала листа [] = 160 МПа, толщина t = 10мм, ширина b=200 мм. Значение допускаемой нагрузки для растягиваемого стального листа, ослабленного двумя отверстиями диаметром d=20 мм, равно …

Варианты ответов:

1) 288 МПа; 2) 219,5 МПа; 3) 320 кН; 4) 256 кН.

Решение:

1), 2), 3) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении опасного сечения. Допускаемую нагрузку определяем из расчета на прочность по сечению, ослабленному отверстиями, так как здесь прежде всего может произойти разрушение. Полная площадь сечения листа А=20см². Ослабление двумя отверстиями  А=4см². Рабочая площадь сечения А_раб =АА=16см²=1610^-4 м².

4) Ответ верный. Допускаемую нагрузку определяем из расчета на прочность по сечению, ослабленному отверстиями, так как здесь прежде всего может произойти разрушение. Полная площадь сечения листа А=20см². Ослабление двумя отверстиями  А=4см². Рабочая площадь сечения А_раб =АА=16см²=1610^-4 м². Допустимая нагрузка  [].

Задача 2.4.3: Стержень с квадратным поперечным сечением нагружен силой . Модуль упругости материала . Допускаемое напряжение . Допустимое минимальное перемещение верхнего сечения . Допустимый размер поперечного сечения стержня  из условия жесткости равен…

Варианты ответов:

1) 22,36 см; 2) 22 см; 3) 5 см; 4) 10 см.

Решение:

1) Ответ верный. По условию жесткости . Отсюда

2) Ответ неверный! Допущена ошибка в выборе допустимых значений размеров. Из условия жесткости .

а должно быть больше или равно .

3) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении площади поперечного сечения. В формуле  площадь .

4) Ответ неверный! Незнание условия жесткости при растяжении − сжатии. Здесь размер определен из условия прочности на растяжение − сжатие . Условие жесткости при растяжении − сжатии: .

Задача 2.4.4: Допускаемое напряжение на растяжение − сжатие для материала стержня равно . Для стержня круглого поперечного сечения наименьший размер D  из условия прочности равен…

Варианты ответов:

1) 10 см; 2) 8,9 см; 3) 8,34 см; 4) 13.

Решение:

1) Ответ верный. Наибольшее значение продольной силы по модулю равно . Из условия прочности стержня на растяжение − сжатие  находим искомый размер

2), 3), 4) Ответ неверный! Возможные ошибки: неправильное определение наибольшей по модулю продольной силы. ; неправильное определение площади поперечного сечения.

Задача 2.4.5: К стержню квадратного поперечного сечения приложены одинаковые растягивающие силы. Если одновременно увеличить в 2 раза длину стержня и размер стороны, абсолютное удлинение стержня…

Варианты ответов:

1) увеличится на ; 2) уменьшится в 2 раза;

3) увеличится в 2 раза; 4) уменьшится на .

Решение:

1), 4) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении абсолютного удлинения при растяжении. Абсолютное удлинение стрежня при растяжении равно .

2) Ответ верный. Абсолютное удлинение стрежня при растяжении равно . При увеличении длины и размера стороны в 2 раза числитель увеличивается в 2 раза, а знаменатель – в 4 раза. Следовательно, удлинение уменьшится в 2 раза.

3) Ответ неверный! Не учтено увеличение площади поперечного сечения в 4 раза. Абсолютное удлинение стрежня при растяжении равно . При увеличении длины и размера стороны в 2 раза числитель увеличивается в 2 раза, а знаменатель – в 4 раза. Следовательно, удлинение уменьшится в 2 раза.

Задача 2.4.6: Прямой стержень изготовлен из хрупкого материала и нагружен осевыми силами. Условие(-я) прочности имеет(-ют) вид …

1) ; 2) ; 3) , ;

4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Данное выражение является условием прочности на растяжение. В прямом стержне, нагруженном осевыми силами, некоторые участки могут работать и на сжатие. Хрупкий материал работает по-разному на растяжение и сжатие, поэтому к условию прочности на растяжение следует добавить условие прочности на сжатие.

2) Ответ неверный! Данное выражение является условием прочности для стержня из пластичного материала.

3) Ответ верный. За опасное (предельное) напряжение для хрупкого материала принимается предел прочности. Предел прочности на сжатие хрупкого материла значительно больше предела прочности на растяжение. Таким образом, хрупкий материал по-разному работает на растяжение и сжатие, поэтому условия прочности для стержня из хрупкого материала состоят из двух выражений: , , где    – максимальные растягивающее и сжимающее напряжения в стержне;  – допускаемые напряжения на растяжение и сжатие, определяемые по формулам ,  – пределы прочности на растяжение и сжатие,  – коэффициент запаса прочности.

4) Ответ неверный! Данное выражение является условием прочности на сжатие. В прямом стержне, нагруженном осевыми силами, некоторые участки могут работать на растяжение. Хрупкий материал работает по-разному на растяжение и сжатие, поэтому к условию прочности на сжатие следует добавить условие прочности на растяжение.

Тема: Расчеты стержней на прочность и жесткость На рисунке показан стержень, загруженный двумя силами F.   – допустимое перемещение сечения С задано. Величины: Е, А, L – известны. Максимально допустимое значение силы F равно …

Решение: Определяем действительное перемещение сечения С. Тогда условие жесткости имеет вид   откуда   то есть 

Тема: Расчеты стержней на прочность и жесткость На рисунке показана симметричная ферма, нагруженная силой F. Величины Е, А, L, α известны.  – допустимое перемещение сечения С задано. Максимально допустимое значение силы F равно …

Решение: Рассмотрим равновесие узла С (рис. 1). Составляем два условия равновесия Решая данную систему уравнений, получаем  В процессе нагружения фермы силой F стержни удлиняются и шарнир С перемещается в положение   (рис. 2). Рис.2 Схема удлинений стержней и перемещения шарнира показана на рисунке 2.   Условие жесткости имеет вид   откуда 

Тема: Расчеты стержней на прочность и жесткость Стержни фермы (см. рисунок) изготовлены из хрупкого материала. Условие прочности по допускаемым напряжениям в общем виде имеет вид …

Решение: В методе расчета по допускаемым напряжениям за опасное состояние фермы принимается такое состояние, при котором в одном из стержней фермы появляются трещины (материал начинает разрушаться). Трещины появляются, когда напряжение достигает величины предела прочности. Стержень 1 фермы работает на растяжение, стержень 2 – на сжатие. Пределы прочности хрупкого материала на растяжение и сжатие различны. Поэтому условие прочности, в общем виде состоит их двух выражений:  и   – растягивающие и сжимающие напряжения в стержнях фермы,   – допустимое напряжение на растяжение,  – предел прочности материала на растяжение,   – допустимое напряжение на сжатие,  – предел прочности материала на сжатие,  – коэффициент запаса прочности.

Тема: Расчеты стержней на прочность и жесткость Стержни фермы (см. рисунок) изготовлены из пластичного материала с одинаковыми пределами текучести на растяжение и сжатие. Условие прочности фермы, из расчета по допускаемым напряжениям, имеет вид …

Решение: В начале отметим, что пределы текучести пластичного материала при растяжении и сжатии одинаковы, то есть  В методе расчета по допускаемым напряжениям за опасное состояние фермы следует принять такое состояние, при котором в наиболее напряженном стержне возникают пластические (необратимые) деформации. Пластические деформации появляются тогда, когда напряжение достигает величины предела текучести. Поэтому условие прочности для фермы имеет вид   где:   – максимальное напряжение в ферме, взятое по абсолютной величине,    –  допускаемое напряжение,   – предел текучести для материала стержней,   – коэффициент запаса прочности.

Тема: Расчеты стержней на прочность и жесткость На рисунке показан стержень, нагруженный равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью q. Величины Н, Е, q известны.  – допускаемое перемещение верхнего поперечного сечения стержня задано. Минимально допустимая площадь поперечного сечения при этом равна …

Решение: Составим уравнение равновесия для верхней отсеченной части стержня  откуда  Укорочение элемента стержня длиною   равно  Тогда перемещение верхнего сечения стержня Условие жесткости имеет вид   или   откуда 

28