- •24. Предел последовательности. Арифметические св-ва пределов.
- •25. Существование верней грани ограниченного сверху множества. Теорема о пределе монотонной послед-ти.
- •26. Отображения мн-в (функции). Предел функции в точке. Арифметические св-ва пределов.
- •28. Определение производной функции в точке. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.
- •29. Дифференцируемость функции и ее дифференциал.
- •30.Теорема Лагранжа и ее применения к исследованию функции.
- •31.Точки mах и min функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
29. Дифференцируемость функции и ее дифференциал.
Геометрический смысл дифференциала функции в точке.
Пусть имеем некот. функцию y=f(x) и пусть t внутренняя точка её области определения, если взять , ,то мы обозн. и будем наз-ть приращением аргумента, а Δу=f(x)-f(t) будем называть приращением ф-ии. Заметим сразу, что если сущ-т
Опр.. Если сущ-т такая постоянная А=const, что вып-ся рав-во (1), где при
То говорят что ф-ия y=f(x) дифференцируема в точке t, само же выражение при этом наз-ся дифференциалом ф-ии в точке t и обозн. dy или df(t).
Теорема 1. Для того чтобы ф-ия y=f(x) была дифференцируемой в точке t необх. И достат. Чтобы в этой точке сущ-ла производная при чем при выполнении этого условия р-во(1)имеет место тогда и только тогда, когда
Док-во:
Необходимость.
Пусть ф-ия диф-ма в точке t, т.е. выполнено р-во (1). Считая, что разделим обе части р-ва (1) на Δх : . Устремим
и неоходимость док-на.
Достаточность.
Пусть сущ-т , тогда
.Поскольку разность между ф-ей и её пределом яв-ся бесконечно малой , где при . Умножим все три части последнего р-ва на
.Мы получили р-во (1), в кот. .
Произвольное приращение аргумента принято называть дифференциалом аргумента . Поскольку по опр-ю диф-ла ф-ии - дифференциал ф-ии.
Геом.смысл дифференциала функции.
Выясним геом-й смысл диф-ла ф-ии dy и его связь с приращением ф-ии .
Обозн. и пусть ф-ия диф-ма в точке t.
Поскольку по т-ме ф-ия диф-ма в точке t, то сущ-т касательная в этой точке. Из геом. Смысла производной . Из MQP: =>
PQ=dy. Т.о. если есть приращение ординаты кривой, то dy есть приращение ординаты касательной к этой кривой проведенной в точке М с абсциссой t.
30.Теорема Лагранжа и ее применения к исследованию функции.
Т. Ролля. Пусть функция f определена на отрезке [а;b] и удовлетворяет трем условиям:
1. функция непрерывна на этом отрезке;
2. функция дифференцируема в интервале (а,b);
3. функция на концах отрезка имеет одинаковые значения f(а)=f(b). Тогда существует т. с в интервале (а,b) со св-вом .
Теорема Лагранжа. Если функция f задана на [а;b] и удовлетворяет усл. 1 и 2 теоремы Ролля. Тогда существует т. с в (а,b):
Док-во: Мы должны док-ть, что Составим вспомогательную функцию .Проверим,что g(x) на [а;b] удов-т усл-м Роля:
1) Эта функция непрерывна на [а;b] как разность непрерывных функций.
2) в (а;b)
3)
По т-ме Роля сущ-т с: , но
.
Геометрический смысл Т.Лагранжа:
Из чертежа видно, что с другой стороны - угловой коэф-т касательной проведенной в точке С. Рав-во этих двух величин означает, что касательная параллельна секущей АВ.
Итак, на кривой найдется точка в которой касательная параллельна секущей АВ.
Применение теоремы Лагранжа:
Т.1. (Условие постоянства функции):
пусть функция f задана на [а;b] и выполнены условия 1 и 2 т-мы Ролля.
Для того, чтобы функция была постоянной на [а;b], необходимо и достаточно, чтобы для любого х из (а,b).
Док-во:
Необходимость.
f(x)=c =>
Достаточность.
Пусть . Возьмем произвольно и рассмотрим [a,x]. Легко проверяется, что ф-я f удов-т усл-м т-мы Лагранжа на [a,x]
:
Поскольку => => тогда f(x)=f(a)=const
Т.2. ( условие строгой монотонности )
Пусть функция f задана на [а;b] и выполнены условия 1 и 2 т-мы Ролля.
Док-во (для строгого возр-я):
Возьмем х1, х2: и рассмотрим [х1, х2 ], т.к то усл-я т-мы Лагранжа выполнены на [х1, х2 ]. Значит : Поскольку => , но тогда и .
Аналог т-мы 2 яв-ся критерием нестрогой монотонности.
Т.3.(критерий монотонности)
П усть функция f задана на [а;b] и выполнены условия 1 и 2 т-мы Ролля.