1.3. Анализ применимости преобразования Фурье.

Очевидно, что в случае стационарности сигналов преобразование Фурье является универсальным и крайне удобным инструментом для их сравнения и анализа. Данное свойство обеспечивается исключительно за счет интегрирующих свойств преобразования Фурье, причем интеграция осуществляется по всей временной оси. Именно здесь и используется стационарность сигналов.

Однако как только условие стационарности перестает выполняться, поведение преобразования Фурье становится плохо объяснимым и трудно предсказуемым, что и иллюстрировалось примером.

Вышеприведенный пример показывает, что представленные совершенно различные сигналы не могут быть различены с использованием преобразования Фурье. Причина, очевидно, кроется в нестационарности второго сигнала.

Очевидный вывод, следующий из всего вышесказанного состоит в следующем: преобразование Фурье НЕ может быть использовано для анализа и распознавания Нестационарных сигналов.

Очевидно, что как достоинства, так и недостатки преобразования Фурье порождены его глобальным характером. Естественным способом преодолеть эту особенность является локализация сигнала во времени, и применение преобразования Фурье лишь к малой части сигнала.

Подобная методика представлена в следующем разделе.

2. Кратковременное преобразование Фурье

2.1. Общие сведения.

Рассмотрим теперь некоторое расширение множества стационарных сигналов - так называемые локально-стационарные сигналы, то есть сигналы, в определенном смысле стационарные на некотором участке временной оси.

В качестве примера такого сигнала может рассматриваться сигнал, приведенный на рис. 3. У этого сигнала сохраняются частоты от 0 до 25, от 25 до 50, от 50 до 75 и от 75 до 100. Таким образом, если организовать преобразование таким образом, чтобы оно в том или ином смысле "игнорировало" некоторые участки оси времени, то, очевидно, такой анализ позволит выяснить частотное поведение сигнала на каждом интервале, что даст уже не просто частотную, а частотно-временную картину.

Подобный подход вызвал к рождению кратковременное преобразование Фурье (Short Time Fourier Transform или STFT).

Для разбиения сигнала на несколько "мелких" порций используется функция окна. Под функцией окна понимается достаточно произвольная функция (обычно гладкая, хотя не обязательно ) с конечным носителем. Обозначим теперь эту функцию как t).

Тогда формулы кратковременного преобразования Фурье некоторой функции f приведены ниже

.

Несложно видеть, что кратковременное преобразование Фурье отличается от обычного преобразования Фурье только наличием дополнительного множителя . Смысл данного множителя становится понятным, если иметь в виду непосредственный вид функции. Один из возможных ее вариантов представлен собой гауссовскую функцию. Как несложно заметить, она обладает конечным носителем и непрерывна. Используются и другие функции окна, которые не обязательно обладают достаточной гладкостью - например, кусочно-постоянная функция.

Заметим, что кратковременное преобразование Фурье является, вообще, говоря функцией двух переменных - частоты и времени, что дает нам картину уже в частотно - временной области, а не просто в частотной.

Способ вычисления кратковременного преобразования Фурье интуитивно ясен - выбирается некоторый момент времени t , на исходную функцию посредством умножения накладывается окно, что "урезает" ee на определенный интервал времени, и над всем этим выполняется обычное преобразование Фурье.

Таким образом, мы получаем частотно - временную картину сигнала.

Очевидно, что такая схема гораздо более применима для анализа нестационарных сигналов, что достигается путем сужения области интегрирования за сечет введения оконной функции.