- •Введение
- •1.Стандартное преобразование Фурье
- •1.1. Пример анализа с использованием преобразования Фурье.
- •1.3. Анализ применимости преобразования Фурье.
- •2. Кратковременное преобразование Фурье
- •2.1. Общие сведения.
- •2.2. Анализ применимости кратковременного преобразования Фурье.
- •2.3. Принцип Гейзенберга.
- •3. Непрерывное wavelet-преобразование и анализ со многими разрешениями.
- •3.1.Общие сведения
- •3.2.Определение непрерывного wavelet - преобразования
- •3.3. Примеры материнских wavelet-ов
- •3.4. Локализующие свойства и интерпретация
- •3.5. Свойства cwt
- •3.6. Примеры непрерывного wavelet-преобразования
- •3.7. Дискретизация непрерывного wavelet-преобразования.
- •3.8. Практическое использование непрерывного wavelet-преобразования
- •4. Дискретное wavelet-преобразование
- •4.1. Кратномасштабный анализ
- •4.2. Wavelet-ряды дискретного времени
- •4.3. Матричное описание дискретного wavelet-преобразования
- •4.4. Описание dwt посредством банков фильтров.
- •5. Применение дискретного wavelet-преобразования.
- •5.1. Применение wavelet-преобразования для сжатия сигнала.
- •5.2. Удаление шума из сигнала.
- •6. Адаптивные ортогональные преобразования.
- •6.1. Пакеты вейвлетов.
- •7. Работа с приложением gui wavemenu пакета программ matlab
- •7.1 Описание Wavemenu
- •7.1.1. Вызов Wavemenu
- •7.1.2. Структура Wavemenu
- •7.1.3. Меню для разделов Wavemenu
- •7.1.4. Экспорт и импорт информации из Wavemenu
- •7.2 Использование Wavemenu для обработки сигналов
- •7.2.1. Получение информации по конкретным wavelet-ам
- •7.2.2. Использование дискретного wavelet-преобразования
- •Очистка сигнала от шумов на основе dwt
- •Сжатие сигнала на основе dwt в Wavemenu
- •7.2.3. Использование разложения по wavelet-пакету
- •Очистка сигнала от шумов с использованием wavelet-пакет
- •Сжатие сигнала с использованием wavelet-пакет
- •7.2.4 Работа с непрерывным wavelet-преобразованием
- •Литература
- •197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5
6.1. Пакеты вейвлетов.
Wavelet -преобразование сигнала выполняется путем его пропускания через каскадно-соединенные двухканальные схемы (рис. 12). При этом каскадирование производится по низкочастотной области. Причина этого в том, что неявно предполагается, что эта область содержит больше информации об исходном сигнале. В результате получается «однобокое» дерево. Данное предположение оправдано для многих реальных сигналов. В самом деле, оно означает, что наш сигнал является низкочастотным на большом интервале времени, а высокочастотные составляющие появляются на коротком интервале. Однако для некоторых сигналов это предположение не выполняется. Метод пакетов wavelet -ов основан на определении того, по какой области на данном уровне выгоднее производить каскадирование. Для этого вначале производится каскадирование по обеим субполосам. В результате получается так называемое «полное», «сбалансированное» дерево.
Будем придерживаться следующей схемы: раскладываем пространство V0на два ортогональных подпространства V-1и W-1, затем разложим пространство V-1еще раз(V-1V-2и V-1W-2) как в обычной схеме , но в дополнение разложим пространство W-1на W-1V-2и W-1W-2и так далее , т.е будем расладывать дальше не только низкочастотную (V) составляющую , но и высокочастотную (W). Общая схема разложения будет иметь вид двоичного дерева (рис. 13.).
На каждом уровне пакета находятся пространства, отвечающие за 2-jчасть спектра пространства V0.Пакетом всплесков является любой подграф G полного графа разложения, удовлетворяющий следующим свойствам:
V0принадлежит G
В каждой из вершин граф G либо делится на две части, либо прерывается
Получим формулу вычисления базисов для соответствующих подпространств. Через Wkj, где j<0, 0<=k<2-jбудем обозначать подпространство, находящееся на уровне j и на месте k слева (нумерация начинается с нуля),
Рис. 13. Граф пакета всплесков.
т.е. W0j=Vj, W0j= Wj,а черезkj-будем обозначать функцию, чьи сдвиги образуют ортонормированный базис пространства Wkj.
Справедливо следующее выражение:
где i=0,1; m0- функция, определяемая масштабирующим уравнением, m1(w)=ejwm0(w)* .
Можно получить более общий результат:
где j<0, 0<=k<2-j, a1,a2,a3,..aj– двоичное представление числа k.Сложность вычисления полной схемы составляет О(NlogN ) (в отличие от стандартной схемы, где сложность составляет О(N)).
Далее, на основе введенной функции стоимости определяется наилучший путь по этому дереву. Если исходный блок wavelet -фильтров был ортогональным, то и схема, соответствующая любой конфигурации дерева будет ортогональной, так как она есть не что иное, как каскадное соединение ортогональных блоков.
Таким образом, получается базис, адаптированный к сигналу. Отметим, что эта адаптация не требует обучения или знания статистических свойств сигнала. Wavelet -преобразование (DWT), как и STFT являются частными случаями этого базиса. Адаптивность достигается за счет увеличения вычислительной стоимости. Существует быстрый алгоритм поиска наилучшего базиса.
Пакеты wavelet были разработаны и исследованы Койфманом и Викерхаузером. В качестве функции стоимости они использовали энтропию, понимаемую ими, как «концентрацию» числа коэффициентов , требующихся для описания сигнала. Данная функция будет большая, если коэффициенты примерно одной величины и мала, если все, кроме нескольких коэффициентов близки к нулю. Таким образом, любое усреднение приводит к увеличению энтропии. Функция стоимости должна быть аддитивной. Это означает, что
и
Под энтропией в данном контексте понимается величина
,
где .
Данная энтропия вычисляется для каждого узла полного дерева пакета wavelet. Далее сравнивается сумма энтропии двух потомков и энтропия их предка на дереве. Если энтропия предка оказалась меньше, отказываемся от его декомпозиции, то есть «обрезаем» дерево. Алгоритм рекурсивно продолжается до достижения вершины дерева. Доказано, что данный алгоритм приводит к наилучшему базису относительно .