Книга по ЦОС в формате pdf
.pdf1.Пространство сигналов
Зафиксируем натуральное число N . Будем называть сигналом N пе• риодическую комплекснозначную функцию целочисленного аргумента x = = x(j) = xj , j Z. Можно считать, что нам задана последовательность комплексных чисел x = {xj }Nj=0−1 продолженная периодически на все целые индексы, то есть xj+sN = xj , для любого s Z. Множество сигналов будем обозначать CN .
Единичным N–переодическим импульсом называется сигнал δN , у ко• торого δN (j) = 1 когда j делится на N и δN (j) = 0 в остальных случаях. Из этого определения легко получить следующее утверждение.
Лемма 1.1. Для любого сигнала x CN справедливо равенство.
NX−1
x(j) = |
x(k) δN (j − k), j Z. |
(1.1) |
|
k=0 |
|
Рассмотрим систему сдвигов единичного импульса |
|
|
δN (j), δN (j − 1), . . . , δN (j − N + 1). |
(1.2) |
Нетрудно показать, что система (1.2) линейно независима на Z. Действи• тельно, пусть
NX−1
c(k) δN (j − k) = 0, при j 0 : N − 1.
k=0
Согласно (1.1) левая часть последнего равенства равна c(j). Тогда c(j) = 0 при всех j 0 : N − 1.
Как было установлено в (1.1) любой сигнал x раскладывается по ли• нейно независимой системе (1.2). Значит система (1.2) является базисом пространства CN . При этом размерность CN равна N .
Так как любой сигнал x CN является N периодичным, то при всех l Z выполняется равенство
N −1 |
N −1 |
|
X |
X |
|
x(j + l) = |
x(j). |
(1.3) |
j=0 |
j=0 |
|
Равенство (1.3) легко преобразовать к виду |
|
|
N −1 |
N −1 |
|
X |
X |
|
x(l − j) = |
x(j). |
(1.4) |
j=0 |
j=0 |
|
1
Введем в CN скалярное произведение и норму
N −1 |
|
|
|
|
|
X |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||
hx, yi = |
x(j) |
|
(j), kxk = hx, xi. |
||
y |
|||||
j=0 |
|
|
|
|
|
Два сигнала x и y называются ортогональными, если hx, yi = 0. Сигнал называется нормированным, если kxk = 1.
Легко показать, что система сигналов (1.2) является ортонормирован• ной, т. е. образует ортонормированный базис в пространстве CN .
2.Дискретное преобразование Фурье
Рассмотрим корень N –й степени из единицы ωN
ωN = cos 2Nπ + i sin 2Nπ = ei 2Nπ = exp(2πi/N ).
Отметим, что для любых j, k Z
(ωNk )j = ωNkj , ωNk ωNj = ωNk+j .
Лемма 2.1. Справедливо равенство
1 |
N −1 |
|
|
X |
|
N |
ωNkj = δN (j) j Z. |
(2.1) |
|
k=0 |
|
Доказательство. В левой части равенства (2.1) стоит N – периодиче• ская функция, что следует из соотношения
ωNk(j+lN ) = ωNkj (j) (ωNN )kl = ωNkj при l Z.
N – периодическим является и единичный импульс δN (j). Потому равенство (2.1) достаточно проверить при j 0 : N − 1.
При j = 0 оно очевидно. Пусть j 1 : N − 1. Воспользуемся формулой для суммы членов геометрической прогресси
NX−1 zk = 1 − zN при z =6 1.
k=0
1 − z
Положив в последнем равенстве z = ωNj , получим
1 |
N −1 |
kj |
|
1 − ωNN j |
|
|
||
|
X |
ωN |
= |
|
|
|
|
= 0 при j 1 : N − 1. |
N |
N (1 |
− |
ωj |
) |
||||
|
k=0 |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
Дискретное преобразование Фурье (сокращенно ДПФ) это отображе• ние FN : CN → CN сопоставляющее сигналу x сигнал X = FN (x) со значениями
N −1 |
|
X |
|
X(k) = x(j) ωN−kj , k Z. |
(2.2) |
j=0
Сигнал X называется спектром Фурье сигнала x или просто спектрoм, а величины X(k) – компонентами спектра или спектральными составляю• щими.
Теорема 2.1. Справедлива формула обращения
|
|
|
|
1 |
|
N −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(j) = |
N |
|
X(k) ωNkj , |
|
j Z. |
|
(2.3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Согласно (2.1) и (2.2) имеем |
(N |
ωNk(j−l)) |
|
|||||||||
N |
N −1 |
X(k) ωNkj = N |
|
|
|
|
x(l) ωN−kl! |
ωNkj |
= |
x(l) |
= |
||
1 |
1 |
N −1 N −1 |
|
|
N −1 |
1 |
N −1 |
|
|||||
|
X |
|
X |
X |
|
|
|
Xl |
|
X |
|
||
|
k=0 |
|
k=0 |
l=0 |
|
|
|
=0 |
|
k=0 |
|
NX−1
=x(l) δN (j − l) = x(j).
l=0
Формулу (2.3) коротко можно записать так x = FN−1(X).
Введем обозначение uk(j) = ωNkj . Тогда формула обращения для ДПФ примет вид
1 |
N −1 |
|
|
x(j) = |
|
X |
|
N |
X(k) uk(j). |
(2.4) |
|
|
|
k=0 |
|
Это значит, что сигнал x(j) раскладывается по системе сигналов
u0(j), u1(j), . . . , uN −1(j). (2.5) Коэффициентами в этом разложении являются компоненты спектра.
Лемма 2.2. Система сигналов (2.5) является ортогональной. При этом kukk2 = N при всех k 0 : N − 1.
Доказательство. Имеем при k, l 0 : N − 1.
N −1 |
|
|
N −1 |
X |
|
|
X |
huk, uli = |
uk(j) |
ul |
(j) = ωN(k−l)j = N δN (k − l). |
j=0 |
|
|
j=0 |
Отсюда очевидным образом следует требуемое.
3
Таким образом, установлено, что система (2.5) образует ортогональ• ный базис в пространстве CN . Этот базис называется экспоненциальным.
Используя последние результаты найдем спектр единичного импульса δN . Умножим обе части равенства (2.4) скалярно на ul. Согласно лемме 2.2 получим hx, uli = X(l). Это значит, что коэффициенты в разложении (2.4) определяются однозначно. Тогда перепишем формулу (2.1) в виде
1 NX−1
δN (j) = N k=0 uk(j).
Имеем разложение единичного импульса по экспоненциальному базису, в котором все коэффициенты равны единице. В силу единственности разло• жения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FN (δN ) = 1. |
(2.6) |
|||||||
Теорема 2.2. Пусть X = FN (x), Y = FN (y). Тогда |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
hX, Y i. |
(2.7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
hx, yi = |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|||||||||||
Доказательство. Согласно определению ДПФ (2.2) получаем |
|||||||||||||||||
|
N hX, Y i = |
|
N k=0 X(k) Y (k) = N k=0 |
j=0 x(j) ωN−kj ! Y (k) = |
|||||||||||||
1 |
|
|
1 N −1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 N −1 |
N −1 |
|||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
X |
|
|
= j=0 x(j) |
(N |
k=0 Y (k) ωN−kj ) |
= j=0 x(j) y(j). |
||||||||||||
|
|
|
N −1 |
1 |
N −1 |
N −1 |
|||||||||||
|
|
|
X |
|
|
|
X |
X |
|||||||||
Следствие 2.1. Справедливо равенство |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
kXk2. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
kxk2 = |
|
(2.8) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
Формула (2.8) называется равенством Парсеваля, а формула (2.7)–
обобщенным равенством Парсеваля.
Замечание 2.1. Вычисление спектра X можно интерпретировать как вычисление значений полинома
NX−1
P (z) = xj zj
j=0
4
в точках единичной окружности zk произведения матрицы
|
1 |
1 |
|
1 |
. |
.N |
|
.N |
|
|
1 |
ωN |
|
ω2 |
.. .. |
|
.. |
||
|
|
|
|
N |
|
1 |
ω2 |
|
ω4 |
1 ωN −1 |
ω |
− |
||
|
|
N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(N 1) |
на вектор x.
= ωNk , k 0 : N −1, и как вычисление
. . . |
ωNN −1 |
|
. . . |
1 |
|
.. . . |
ωN . − |
|
.. |
.. |
|
|
2(N 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . ωN(N −1)(N −1)
Рассмотрим пример на вычисление ДПФ.
Пример 2.1. Пусть N = 2n и |
n : N− |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x(j) = |
( |
|
|
1, |
при j |
1. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
при j |
|
0 : n |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
||
Покажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
X(k) = |
0, |
|
|
|
|
|
|
при четных k, |
|
||||||
|
|
|
(2(1 |
− |
i ctg πkN ), |
при нечетных k. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По определению ДПФ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n−1 |
|
2n−1 |
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|||||
X k |
|
|
X |
|
X |
ω−k(j−n)−kn |
|
|
ω−kn |
X |
ω−kj . |
|||||||
( |
|
) = |
|
N |
− |
|
|
|
|
|
N |
|
= (1 − |
N |
) |
N |
||
|
|
|
|
j=0 |
|
j=n |
|
|
|
|
|
|
j=0 |
|
||||
Поскольку ω |
2 |
= |
− |
1, то ω−kn = ω−kn = ω−k |
= ( |
1)k. Таким образом, ис• |
||||||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
2n |
2 |
|
− |
|
|
|
пользуя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, получаем
X(k) = 2(1 |
|
ωN−kn) |
|
|
4 |
|
|
при четных k, |
||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
ω− |
|
1 |
− |
ω− |
|
|
|
|||
|
|
|
N |
k |
= |
|
N |
k |
, |
при нечетных k. |
||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
остается учесть, что в случае, когда k не делится на N (в частности при нечетных k), справедливо равенство
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
sin |
N − |
|
|
N |
= |
1 |
1 |
= |
i ctg |
|
|
|
. |
|
|
= |
||||||
1 |
− |
ω−k = |
1 |
− |
cos |
2πk |
|
+ i sin |
2πk |
|
2 sin |
πk |
cos πk + i sin πk |
|
|||||||||||
|
N |
|
|
N |
|
|
|
2 |
N |
|
|
N |
|
N |
N |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 sin πkN |
|
|
|
− |
|
|
N |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
πk |
i cos πk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πk |
|
|
|
|
|
5
3.Теорема об отсчетах
Отсчетом будем называть значение x(j) сигнала x при кокретном значении переменной j. Оказывается, что при некоторм предположении сигнал x полностью восстанавливается по своим отсчетам на более круп• ной, чем Z сетке.
Пусть N = mn, где n > 2. Введем функцию h(j) следующим образом
mX−1
h(j) = m1 k=0 ωNkj .
Согласно (2.1) h(ln) = δm(l) при всех l Z.
Теорема 3.1 (об отсчетах). Если спектр X сигнала x равен нулю на множестве m : N − 1, то
mX−1
x(j) = x(ln) h(j − ln), j Z. |
(3.1) |
l=0 |
|
Замечание 3.1. Формулу для функции ядра h можно существенно упростить
h(j) = |
1,sin(πj/n) |
(m−1)j |
|
при j = 0, |
|
|
(3.2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2N |
|
, |
при j 1 : N − 1. |
|
||||||
|
|
|
|
|
m sin(πj/N ) |
|
|
||||||||||||
В простейшем |
|
= 2 |
, N |
= 2 |
m формула (3.2) |
преоб• |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
частном случае n |
|
|
|
|
||||||||||
разуется к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
h(j) = |
0, |
|
|
|
|
при четных j |
|
1 : N |
− |
1, |
(3.3) |
||||||||
|
1, |
|
|
|
|
|
при j = 0, |
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
πj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1 + i ctg N , |
при нечетных j 1 : N − 1. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие 3.1. В случае N = 2m теорему 3.1 можно переформули• ровать так: если на основном периоде JN = 0 : N − 1 половина значений спектра X(k) с индексами k m : 2m −1 равна нулю, то сигнал x восста• навливается по половине своих отсчетов x(2l), l 0 : m − 1, с помощью формулы
mX−1
x(j) = x(2l) h(j − 2l), j Z,
l=0
где функция ядра h имеет вид (3.3).
6
4.Простейшие свойства ДПФ
Сигнал x называется четным если x(−j) = x(j), и нечетным, если x(−j) = −x(j) при всех j Z. Сигнал x называется вещественным, если
Im(x) = 0, и чисто мнимым, если Re(x) = 0.
Теорема 4.1. Справедливы следующие свойства ДПФ.
1.Сигнал x CN является вещественным, тогда и только тогда, когда его спектр Фурье X = FN (x) четный.
2.Пусть a и b два вещественных сигнала из CN . Образуем комплекс• ный сигнал x = a + ib. Тогда для спектров A, B, X этих сигналов справедливы соотношения
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
A(k) = |
|
[X(k) + X(N − k)], B(k) = − |
|
i [X(k) − X(N − k)] |
||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||
при всех k Z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. При четном N и k 0 : N/2 − 1 справедливы равенства |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N/2−1 |
|
|
|
||||
|
|
X(2k) = |
[x(j) + x(N/2 + j)] ωN/−kj2, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j=0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
N/2−1 |
|
|
|
||||
|
X(2k + 1) = |
[x(j) − x(N/2 + j)] ωN−j ωN/−kj2. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j=0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
||||
4. Пусть сигнал xl связан с исходным сигналом x CN |
соотношением |
|||||||||||||
|
|
|
xl(j) = x(j + l), где l Z. |
|
|
|
||||||||
Тогда спектры Xl, X связаны соотношением |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Xl(k) = ωNkl X(k), k Z. |
|
|
|
||||||||
5. Пусть сигнал xl связан с исходным сигналом x CN |
соотношением |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2πlj |
|
|
|
|||
|
|
xl(j) = cos |
|
x(j), где l Z. |
|
|
|
|||||||
|
|
N |
|
|
|
|||||||||
Тогда для спектров Xl, X справедливо равенство |
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Xl(k) = |
|
|
(X(k − l) + X(k + l)), k Z. |
|||||||||
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
6. Cигнал xn является удлинением сигнала x CN , т. е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
(0, |
при j |
N : nN |
|
1 |
(xn CnN ). |
|
x |
(j) = |
x(j), |
при j |
0 : N − 1, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
− |
|
Тогда их спектры Xn, X связаны формулой
N −1 |
1 |
N −1 |
|||
Xl |
|
|
|
|
X |
Xn(k) = |
X(l) h(k − ln), где h(k) = |
N |
ωnNkj . |
||
=0 |
|
|
|
|
j=0 |
7. Cигнал xn является растяжением сигнала x CN , т. е.
x |
(j) = |
x(j/n), |
если hjin = 0, |
|
Z |
(xn |
|
CnN ). |
n |
|
(0, |
при остальных j |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Тогда для их спектров Xn, X справедливо равенство
Xn(k) = X(hkiN ).
8. Сигнал yn является прореживанием сигнала x CN , т. е.
yn(j) = x(jm) при N = mn (yn Cn).
Тогда для их спектров Yn, X справедливо равенство
1 mX−1
Yn(k) = m p=0 X(k + pn).
Замечание 4.1. Растяжение сигнала x в сигнал xn в пункте 7 и прореживание сигнала x в сигнал yn в пункте 8 в цифровой обработке сигналов называются соответственно интерполяцией и децимацией и используются при создании частотных конверторов.
Пусть X = FN (x). Тогда сигнал |X| называется амплитудным спек• тром, а сигнал |X|2 спектром мощности сигнала x.
В дополнение к примеру 2.1 приведем (без вывода) несколько извест• ных сигналов, спектры которых допускают явное представление.
πj
1. x(j) = sin N , j 0 : N − 1. Тогда для спектра X справедливо
|
|
sin |
π |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
X(k) = |
|
N |
|
. |
|||
cos |
2kπ |
− cos |
π |
||||
|
|
|
|
||||
|
N |
N |
8
2. |
x(j) = (−1)j , j 0 : N − 1. Тогда |
|||||||
|
|
|
|
N δN (k − n), |
||||
|
|
|
X(k) = |
|
πk |
|||
|
|
|
|
1 + i tg |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
N |
|||
3. |
x(j) = j, j 0 : N − 1. Тогда |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
1 |
||||
|
X(0) = |
|
N (N − 1), |
X(k) = − |
|
N |
||
|
2 |
2 |
при N = 2n,
при N = 2n + 1.
1 − i ctg N |
, k 1 : N − 1. |
|
|
πk |
|
5.Циклическая свертка
Циклической сверткой сигналов x и y называется сигнал u = x y с
отсчетами
NX−1
u(j) = |
x(k) y(j − k), j Z. |
(5.1) |
k=0 |
|
|
Иногда в литературе циклическую свертку называют круговой. |
||
Теорема 5.1 (о свертке). Пусть X = FN (x), Y = FN (y). Тогда |
||
FN (x y) = XY, |
(5.2) |
|
где справа стоит покомпонентное произведение спектров. |
|
|
Доказательство. Согласно (1.3) имеем |
|
|
[FN (x y)](k) = |
x(l) y(j − l)! ωN−k(j−l)−kl |
= |
N −1 |
N −1 |
|
X |
Xl |
|
j=0 |
=0 |
|
NX−1
=x(l)
l=0
NX−1
=x(l)
l=0
|
N −1 |
|
|
|
|
|
ω−kl |
X |
j |
|
l |
ω−k(j−l) |
|
y |
− |
= |
||||
N |
( |
|
) |
N |
||
|
j=0 |
|
|
|
|
|
|
N −1 |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
ωN−kl |
y(j) ωN−kj = X(k)Y (k). |
j=0
В последнем переходе цепочки равенств мы использовали (1.3) для сигнала y(j) ωN−kj .
Следствие 5.1. Циклическая свертка обладает следующими свой• ствами.
9
1. |
Свертка двух четных сигналов четна. |
|
|
|
2. |
Справедливы равенства |
|
|
|
|
x y = FN−1(XY ), FN (xy) = |
1 |
(X Y ). |
(5.3) |
|
|
|||
|
N |
Из определения циклической свертки очевидно следует, что
1)x y = y x циклическая свертка коммутативна;
2)x (y z) = (x y) z циклическая свертка ассоциативна.
Замечание 5.1. Если ввести в множество сигналов CN сложение
y = x1 + x2 y(j) = x1(j) + x2(j), j Z,
и взять циклическую свертку в качестве операции умножения, то про• странство сигналов CN образует коммутативную алгебру с единицей. Единицей является δN , так как согласно (1.1)
NX−1
[x δN ](j) = x(k) δN (j − k) = x(j).
k=0
Обратный элемент y к сигналу x определяется условием
x y = δN . |
(5.4) |
Легко проверить, что обратный элемент существует, для любого тож• дественно ненулевого сигнала. Применим к обеим частям (5.4) операцию FN , получим уравнение XY = 1 относительно Y , эквивалентное (5.4). Этот прием называется переходом в спектральную область. Последнее уравне• ние имеет решение тогда и только тогда, когда все компоненты спектра отличны от нуля. Решение записывается в явном виде 1 Y = X−1. По фор• муле обращения (2.3) y = FN−1(X−1). Это и есть сигнал, обратный к x.
Замечание 5.2. Вычисление циклической свёртки x y можно ин• терпретировать как вычисление произведения правоциркулярной матри•
цы |
|
y(1) |
y(0) |
y(N − 1) |
. . . y(2) |
|
|
|
y(0) |
y(N − 1) |
y(N − 2) |
. . . y(1) |
|
|
.. |
.. |
.. |
... .. |
||
|
. |
. |
. |
. |
|
|
|
y(N 1) |
y(N 2) |
y(N 3) |
. . . y(0) |
|
|
|
|
y(2) |
y(1) |
y(0) |
. . . y(3) |
|
на вектор x. |
|
− |
− |
− |
|
|
1Сигнал X−1(j) = 1/X(j)
10