Задачи.

1.На вопрос: «Кто из трех учеников изучал логику?» был получен правдивый ответ: «Если изучал первый, то изучал и второй. Но не верно, что если изучал третий, то изучал и второй». Кто из учащихся изучал логику?

Решение:

Пусть Р₁, Р₂, Р₃ – учащиеся.

Тогда ответ учеников примет вид .

Т.к. ответ был правдивым, то

Преобразуем левую часть:

Получили, что .

Значит только третий школьник изучал логику.

Ответ: третий школьник.

2.[7] Четыре студентки, имена которых начинаются буквами A, E, C, P посещают институт по очереди и ведут общий конспект лекций. Необходимо составить график посещения на ближайшую неделю, учитывая, что:

1. Понедельник - день самостоятельной работы на курсе, и в

институт не ходит никто, а в субботу необходимо быть всем.

2. C и P не смогут пойти на занятия во вторник в связи с большой загруженностью в понедельник.

3. Если C выйдет в среду или P - в четверг, то E согласится побывать на занятиях в пятницу.

4. Если A не пойдет в ВУЗ в четверг, то E позволит себе сходить туда в среду.

5. Если A или P будут в институте в среду, то C сможет пойти в пятницу.

6. Если P в пятницу вместо института пойдет на свадьбу подруги, то

A придется сходить в институт во вторник, а C — в четверг. [1].

Решение:

Пусть А = «С пойдет во вторник»,

В = «Р пойдет во вторник»,

С = «С пойдет в среду»,

D = «Р пойдет в четверг»,

E = «Е пойдет в пятницу»,

F = «А пойдет в четверг»,

G = «Е пойдет в среду»,

K = «А пойдет в среду»,

L = «Р пойдет в среду»,

M = «С пойдет в пятницу»,

N = «Р пойдет в пятницу»,

O = «А пойдет во вторник»,

P = «С пойдет в четверг».

Т.к. студентки ходят в институт по очереди, то

Тогда условие задачи примет следующий вид:

Т.к. все условия должны выполняться, то

Преобразуем левую часть:

Получили, что

Таким образом, мы нашли три варианта решения задачи. Первый вариант не подходит, т.к. не выполнится четвертое условие задачи. Т.к. остальные варианты решения и равносильны, то получим, что А пойдет в институт во вторник, Е – в среду, С – в четверг, а Р – в пятницу.

Ответ: А пойдет в институт во вторник, Е – в среду, С – в четверг, а

Р – в пятницу.

3. [7] Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.

Решение.

1 способ.

Т.к. высказывание ложно, если X – истинно, Y - ложно, то

истинно при (K,M) = (0,0), (0,1), (1,1)

ложно при (L, M, N)=(1,0,0)

Следовательно,

K=0, L=1, M=0, N=0.

2 способ.

Построим таблицу истинности:

K	L	M	N
0	0	0	0	1	1	1
0	0	0	1	1	1	1
0	0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1
0	1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	1	1
1	0	0	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	0	1	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	1
1	1	0	1	0	1	1
1	1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1

K=0, L=1, M=0, N=0.

Ответ: 0100.

4.[14] Мама, прибежавшая на звон разбившейся вазы, застала трех своих сыновей в совершенно невинных позах: Саша, Ваня и Коля делали вид, что происшедшее к ним не относится. Однако футбольный мяч среди осколков явно говорил об обратном.

• Кто это сделал? – спросила мама.

• Коля не бил по мячу, - сказал Саша. – Это сделал Ваня.

Ваня ответил: - Разбил Коля, Саша не играл в футбол дома.

• Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, - рассердилась мама. – Ну, а ты что скажешь? – спросила она Колю.

• Не сердись, мамочка! Я знаю, что Ваня не мог этого сделать. А я сегодня еще не сделал уроки, - заявил Коля.

Оказалось, что двое мальчиков в каждом из двух случаев сказали правду, а один оба раза сказал неправду. Кто разбил вазу?

Решение.

Пусть К = «Вазу разбил Коля»,

В = «Вазу разбил Ваня»,

С = «Вазу разбил Саша».

По условию получаем:

Саша: ;

Ваня: ;

Коля: .

Т.к. один из мальчиков оба раза солгал, то

Саша:

Ваня:

Коля:

Т.е. получили

Преобразуем правую часть:

Таким образом мы нашли решение задачи: , т.е. получили, что вазу разбил Коля.

Ответ: Коля

5. Найдите решение системы логических уравнений:

Решение.

Подставим значение 2-го уравнения в 1-е.

,

Строим таблицу истинности:

А	В	С	D
0	0	0	0	0	0	1	1
0	0	0	1	0	0	1	1
0	0	1	0	0	0	1	1
0	0	1	1	0	1	0	0
0	1	0	0	1	0	1	1
0	1	0	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	0	1	1
0	1	1	1	1	1	0	1
1	0	0	0	1	0	1	1
1	0	0	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	0	1	1
1	0	1	1	1	1	0	1
1	1	0	0	1	0	1	1
1	1	0	1	1	0	1	1
1	1	1	0	1	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1

6. В классе 25 человек, каждый из которых владеет, по крайней мере, одним языком – английским или немецким. 17 человек владеют английским, 15 – немецким. Сколько человек владеет только английским языком? Только немецким?

Решение:

Пусть множество А – множество людей, знающих английский, В – множество людей, знающих немецкий.

Тогда

пусть х – число учеников, владеющих двумя языками.

Тогда

Найдем количество учеников, владеющих только английским:

Найдем количество учеников, владеющих только немецким:

Ответ: 10 учеников владеют только английским языком, а 8 учащихся – только немецким.

7.[18] В областной спартакиаде участвует школьная команда в 20 человек, каждый из которых имеет юношеский спортивный разряд по одному или нескольким из трех видов спорта: легкой атлетике, плаванию и гимнастике. Известно, что 12 из них имеют спортивные разряды по легкой атлетике, 10 – по гимнастике и 5 – по плаванию. Сколько учеников из этой команды имеют разряды по всем трем видам спорта, если по легкой атлетике и плаванию разряды имеют 2 человека, по легкой атлетике и гимнастике – 4 человека, по плаванию и гимнастике – 2 человека? [3].

Решение:

Пусть множество А – множество учеников, имеющих разряды по легкой атлетике, В – множество учеников, имеющих разряды по гимнастике, С - множество учеников, имеющих разряды по плаванию.

Тогда

Найдем количество учеников, имеющих разряды только по плаванию:

Найдем количество учеников, имеющих разряды только по гимнастике:

Найдем количество учеников, имеющих разряды только по легкой атлетике:

Значит, не менее чем по двум видам спорта разряды имеют

человек.

Из этих 6 человек имеют разряды по плаванию, но тогда только по легкой атлетике и гимнастике имеют разряды 3 ученика. Аналогично рассуждая, находим, что только по гимнастике и плаванию имеет разряды 1 ученик, по легкой атлетике и плаванию – также 1 ученик.

Следовательно, по всем трем видам спорта разряды имеет 1 человек:

Ответ: 1 ученик имеет разряды по всем трем видам спорта

Литература.

1. Алимов Ш.А. Алгебра: Учеб. для 7 кл. ср. шк. – М.: Просвещение, 1999. – 206 с.

2. Алимов Ш.А. Алгебра: Учеб. для 8 кл. ср. шк. – М.: Просвещение, 1992. – 223 с.

3. Алимов Ш.А. Алгебра: Учеб. для 9 кл. ср. шк. – М.: Просвещение, 1992. – 223 с.

4. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобр. шк. – М.: Просвещение, 1996. – 253 с.

5. Алимов Ш.А. Алгебра: Учеб. для 7 кл. ср. шк. – М.: Просвещение, 1992. – 223 с.

6. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: Наука, 1977. – 368 с.

7. Бабушкина И.А., Васенина Е.А., Окулов С.М. Вступительный экзамен по информатике в Вятском государственном гуманитарном университете. // Информатика, 2005, №4.

8. Байиф Ж.-К. Логические задачи: пер. с франц./ перевод Сударева Ю.Н.; под редакцией и с послесл. И.М. Яглома. – М.: Мир, 1983. – 172 с.

9. Бойко А.П. Краткий курс логики./Серия «Библиотека лицииста». – М.: Издательский центр «Аз», 1995. – 128 с.

10. Гейн А.Г. и др. Информатика 7-9 классы: Учеб. для общеобр. уч. зав. – М.: Дрофа, 1998 – 240 с.

11. Депман И.Я. Первое знакомство с математической логикой. – Ленинград: Знание, 1965. – 56 с.

12. В.Заварыкин. Введение в алгебру и анализ (спецкурс). Учебное пособие. – М., МГЗПИ, 1992. – 80 с.

13. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. – Саратов: Изд-во сарат. ун-та, 1991. – 256 с.

14. Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логике: учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. фак. пед. Ин-тов. – М.: Просвещение, 1986. – 159 с.

15. Колмагоров А.Н. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобр. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 319 с.

16. Кутусов А.Д. Элементы математической логики: Пособие для учащихся 9-10 классов. – М.: Просвещение, 1979. – 62 с.

17. Кушниренко А.Г. и др. Основы информатики и вычислительной техники: Учеб. для 10-11 кл. общеобр. зав. – М.: Просвещение, 1996. – 224 с.

18.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. . – М.: Физмат лит-ра, 2002.

19.Лакатос И. Доказательство и опровержение. – М.: Наука, 1983. – 120 с.

20.Мазаник А.А., Мазаник С.А. Реши сам. – Минск: Народная асвета, 1992. – 256 с.

21. Макарова Н.В. «Информатика 7-9. Базовый курс. Теория.» - Спб.: Питер, 2001. – 568 с.

22. Макарычев Ю.Н. Алгебра: Учеб. для 7 кл. ср. шк./ под ред. Теляковского С.А. – М.: Просвещение, 1992. – 271 с.

23.Макарычев Ю.Н. Алгебра: Учеб. для 8 кл. ср. шк./ под ред. Теляковского С.А. – М.: Просвещение, 1989. – 256 с.

24. Макарычев Ю.Н. Алгебра: Учеб. для 9 кл. ср. шк./ под ред. Теляковского С.А. – М.: Просвещение, 1989. – 280 с.

25.Новиков П.С. Элементы математической логики. – М.: Наука, 1973. – 400 с.

26.Шевченко В.Е. Некоторые способы решения логических задач. – Киев: Выща школа, 1979. – 89 с.

27.Эдельман С.Л. Математическая логика: Учеб. пособие для ин-тов. – М.: Высшая школа, 1975. – 176 с.

28.Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1979. – 272 с.

29. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика – Москва: Наука, 1987

30. Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. – Саратов:, 1991

31. Игошин В. И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов. – Москва: Академия, 2007

32. Игошин В.И. Задачник практикум по математической логике. - Москва: Просвещение, 1986

33. Куратовский К.,Мостовский А. Теория множеств.- Москва: Мир, 1970

34.Маренич Е.Е., Маренич А.С. Вводный курс прикладной математики. - Мурманск: МГПУ, 2003

35.Никитин В. В. Сборник логических упражнений. – Москва: Просвещение, 1970

36.Никольская И. Л. Знакомство с математической логикой.- Москва: Издательство «Флинта»,1998

37. Новиков П.С. Элементы математической логики. - Москва: Наука, 1973

52