Раздел 1. Элементы математической логики, теории множеств. Основные понятия алгебраических структур: группы, кольца, поля. Глава 1. Элементы математической логики и теории множеств. Содержание

РАЗДЕЛ 1. Элементы математической логики, теории множеств. Основные понятия алгебраических структур: группы, кольца, поля. 2

Глава 1. Элементы математической логики и теории множеств. 2

Содержание 2

Введение 4

§1. Высказывания, операции над высказываниями 5

п.1. Высказывания. 5

п.2. Отрицание высказывания. 5

п.3. Дизъюнкция высказываний. 5

п.4. Конъюнкция высказываний. 6

п.5. Импликация высказываний. 6

п.6. Равносильность (эквивалентность) высказываний. 6

§2. Формулы алгебры высказываний. Законы логики 7

п.1. Определение формул алгебры высказываний. 7

п.2. Законы логики. 7

§3. Предикаты. Кванторы общности и существования 12

п.1. Определение предиката. 12

п.2. Логические операции алгебры предикатов. 13

п.3.Равносильность предикатов. 13

п.4. Квантор общности. 13

п.5. Квантор существования. 14

п.6.Построение отрицания высказываний, содержащих кван­торы. Законы Де Моргана. 14

§4. Взаимно обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия. Взаимно противоположные теоремы. Доказательство от противного 15

п.1.Стандартная форма записи теоремы. 15

п.2. Обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия. 16

п.3. Противоположные теоремы. 16

п.4. Теорема, противоположная обратной (доказательство от противного). 16

§5. Элементы теорий множеств (интуитивная теория множеств). 17

п.1. Множества. 17

п.2. Подмножества. 17

п3. Пустое множество. 18

п.4. Операции над множествами. 19

п.5. Свойства операций над множествами. 20

п.6. Универсальные множества. Дополнение и его свойства. 22

§6. Прямое произведение двух множеств. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности и фактор множества. Функции. Отношение порядка. 23

п.1. Прямое произведение множеств. 23

п.2. Бинарные отношения. 24

Запишем это бинарное отношение как множество пар: 26

п.3. Отношение эквивалентности и фактор множества. 26

п.4. Отношение порядка. 28

п.5. Функции (отображения). 29

Задачи. 42

Введение

Математическая логика как самостоятельный раздел современной ма­тематики сформировалась сравнительно недавно – на рубеже IX – XX веков.

Математическая логика поначалу ка­залась наукой в высшей степени абстрактной и бесконечно далекой от прак­тиче­ских приложений. Однако она недолго оставалась уделом «чис­тых» ма­тематиков. В начале 20 века П. С. Эренфест указал на возможность применения аппарата логики высказываний (раздела матема­тической логики) в технике. В середине 20 столетия была обнаружена тес­нейшая связь математи­ческой логики с новой наукой – кибернетикой. Эта связь открыла возможно­сти многочисленных и разнообразных приложе­ний математической логики. Достаточно сказать, что сегодня математиче­ская логика используется в био­логии, медицине, лингвистике, педагогике, психологии, экономике, технике и других областях. Велика роль математической логики в развитии вычислительной техники: она используется в конструировании компьютеров и при разработке искусст­венных языков для общения с ними.

При любой попытке систематического изложения математики (как, впрочем, и любой другой науки) возникает проблема выбора начальных (ис­ходных) понятий и принципов, которые будут положены в основу всего из­ложения. Систематизация математики в конце девятнадцатого века выявила, что весьма перспективным является использо­вание понятия множества в качестве единственного исходного понятия для всей математики. Работами Б. Больцано, Р. Дедекинда и Г. Кантора была соз­дана новая область математики – теория множеств. Эта дисциплина, быстро развиваясь, оказала огромное влияние на математику и имела особенное зна­чение в вопросах оснований математики.

В главе 1 рассмотрены элементы математической логики и теории множеств. В первых двух параграфах определяется понятие высказывания, операций над ними (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и равносильность), а также формулы алгебры высказываний и важнейшие законы логики. Затем в третьем параграфе присутствует определение предикатов, логических операций алгебры предикатов, квантора общности и квантора существования.

В этой главе приведены также основные понятия теории множеств: определение множества, подмножества, универсального множества, операции над множествами и их свойства, прямое произведение множеств, бинарное отношение, отношение эквивалентности и отношение порядка.

Рассмотрены виды функций: биекция, сюръекция, инъекция; свойства обратной функции, тождественной функции, композиции функций.