- •Раздел 1. Элементы математической логики, теории множеств. Основные понятия алгебраических структур: группы, кольца, поля. Глава 1. Элементы математической логики и теории множеств. Содержание
- •Введение
- •§1. Высказывания, операции над высказываниями п.1. Высказывания.
- •П.2. Отрицание высказывания.
- •П.3. Дизъюнкция высказываний.
- •П.4. Конъюнкция высказываний.
- •П.5. Импликация высказываний.
- •П.6. Равносильность (эквивалентность) высказываний.
- •§2. Формулы алгебры высказываний. Законы логики п.1. Определение формул алгебры высказываний.
- •П.2. Законы логики.
- •§3. Предикаты. Кванторы общности и существования п.1. Определение предиката.
- •П.2. Логические операции алгебры предикатов.
- •П.3.Равносильность предикатов.
- •П.4. Квантор общности.
- •П.5. Квантор существования.
- •П.6.Построение отрицания высказываний, содержащих кванторы. Законы Де Моргана.
- •§4. Взаимно обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия. Взаимно противоположные теоремы. Доказательство от противного п.1.Стандартная форма записи теоремы.
- •П.2. Обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия.
- •П.3. Противоположные теоремы.
- •П.4. Теорема, противоположная обратной (доказательство от противного).
- •§5. Элементы теорий множеств (интуитивная теория множеств). П.1. Множества.
- •П.2. Подмножества.
- •П3. Пустое множество.
- •П.4. Операции над множествами.
- •П.5. Свойства операций над множествами.
- •П.6. Универсальные множества. Дополнение и его свойства.
- •§6. Прямое произведение двух множеств. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности и фактор множества. Функции. Отношение порядка. П.1. Прямое произведение множеств.
- •П.2. Бинарные отношения.
- •Виды бинарных отношений.
- •Изображение бинарных отношений графами.
- •Запишем это бинарное отношение как множество пар:
- •П.3. Отношение эквивалентности и фактор множества.
- •П.4. Отношение порядка.
- •Упорядоченные множества.
- •П.5. Функции (отображения).
- •Сужение функции.
- •Виды функций.
- •Композиция функции (сложная функция). Суперпозиция функции.
- •Тождественная (единичная) функция.
- •Обратные функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •Задачи.
Упорядоченные множества.
Определение. Пусть - отношение частичного порядка на множестве , тогда упорядоченная пара называется частично упорядоченным множеством - это множество с заданным на нём порядком (ч.у.м.)
Определение. Пусть - отношение строгого порядка на множестве . Тогда называется строго упорядоченным множеством - это множество с заданным на нём строгим порядком.
П.5. Функции (отображения).
Пусть , - множества.
Описание. Говорят, что задана функция, определенная на множестве со значениями во множестве , если в силу некоторого закона каждому элементу из множества поставили в соответствие единственный элемент во множестве .
или
- область определения ; - область прибытия .
Слова «функция» и «отображение» - синонимы.
Если в силу некоторого закона элементу ставить в соответствие , то пишут: или или .
Определение. Множество всех значений функции , которые она принимает на элементах множества , называется множеством значений функции.
Множество значений функции обозначается: .
Область значений функции обозначается: .
Определение. Графиком функции , определенной на множестве и принимающей значения во множестве называется множество .
Определение. Две функции и равны, если:
если они имеют одинаковую область определения, т.е. ;
множества значений этих функций равны .
Пример. Пусть ;
,
Сужение функции.
Определение. Пусть , . Сужением функции на множество называется .
Пример. ;
0
Рассмотрим сужение этой функции.
а) ;
б) ;
в) ;
Сформируем описание функции как отношение.
Определение. Отношение , являющееся подмножеством прямого произведения называется функцией, если:
1)
2)
Другими словами, отношение является функцией, если существует и при том единственное , такое, что находится в отношении с элементом .
Если отношение - функция и находится в отношении с элементом , то записывают
Задача. Пользуясь формальным определением функции доказать приведённое выше определение равенства функции.
Виды функций.
Определение. Функция называется инъекцией (инъективным отображением), если она обладает свойством:
Рис. 1.
Используя закон контрапозиции можно дать другое определение инъекции, равносильное приведённому выше.
Функция называется инъекцией (инъективным отображением), если она обладает свойством:
Определение. Функция называется сюръекцией, если
Рис.2.
В чём разница рисунков?
На рисунке 1 к некоторым точкам проведены стрелки. Если к точке проведена стрелка, то только одна. На рисунке 2 к каждой точке множества проведена стрелка. К некоторым точкам множества может быть проведено несколько стрелок.
О пределение. Функция называется биекцией (взаимнооднозначным отображением), если одновременно инъективно и сюръективно.
Задача (УИРС).
Пусть - конечные множества. - биекция.
Что можно сказать про мощность множеств?
Пример. Определить вид следующих функций.
1 . ;
- не является инъекцией,
- сюръекция,
- не является биекцией.
2 . ;
- не является инъекцией,
- не является сюръекцией,
- не является биекцией.
3. ;
- инъекция,
- сюръекция,
- биекция.
4 . ;
- инъекция,
- сюръекция,
- биекция,
Задача.
Пусть - конечные множества. , .
Сколько существует инъекций таких, что ?
Сколько существует сюръекций таких, что ?
Сколько существует биекций таких, что ? Какое условие существования этих функций?