3. Місячний календар
При розгляді теорії місячного календаря тривалість синодичного місяця з достатнім ступенем точності можна прийняти рівною 29,53059 доби. Очевидно, що відповідний йому календарний місяць може містити 29 або 30 діб. Календарний місячний рік складається з 12 місяців. Відповідна йому тривалість астрономічного місячного року дорівнює 354,36706 діб. Можна тому прийняти, що календарний місячний рік складається з 354 діб: з шести «повних» місяців по 30 діб і шести «порожніх» за 29 діб, тому що:
6 X 30 + 6 X 29 = 354
А щоб початок календарного місяця як можна точніше збігалося з молодиком, ці місяці повинні чергуватися; наприклад, всі непарні місяці можуть містити по 30, а парні - по 29 днів. Проте, проміжок часу в 12 синодичних місяців на 0,36706 доби більше календарного місячного року становить 354 діб. За три таких роки ця помилка складе вже 1,10118 доби.
Отже, в четвертому від початку рахунку році молодика будуть вже доводитися не на перші, а на другі числа місяців, через вісім років - на четверту і т. д. А це означає, що календар час від часу слід виправляти: приблизно через кожні три роки робити вставку в один день, тобто замість 354 днів вважати в році 355 днів. Рік в 354 дні прийнято називати простим, рік у 355 днів - продовженим або високосним.
Завдання побудови місячного календаря зводиться до наступного: знайти такий порядок чергування простих і високосних місячних років, при якому початки календарних місяців не відсувалися б помітно від молодика. Досвід показує, що за кожні 30 років (один цикл) молодика по відношенню до першого числа календарних місяців пересуваються на 0,0118 діб вперед, а це дає зрушення в один день приблизно за 2500 років.
4. Місячно-сонячний календар
В основу теорії місячно-сонячних календарів покладені дві астрономічні величини: 1 тропічний рік = 365,242 20 діб; 1 синодичний місяць = 29,530 59 діб.
Звідси отримуємо:
1 тропічний рік = 12,368 26 синодичних місяців.
Іншими словами, у сонячному році міститься 12 повних місячних місяців і ще приблизно одна третина. Отже, рік у місячно-сонячному календарі може складатися з 12 або з 13 місячних місяців. В останньому випадку рік називається емболісмічним (від грецького «емболісмос» - вставка).
Зауважимо, що в Стародавньому Римі і середньовічній Європі вставку додаткового дня або місяця було прийнято називати інтеркаляцією (від латинського intercalatio - вставка), а сам доданий місяць - інтеркаляріем. У місячно-сонячному календарі початок кожного календарного місяця повинен якомога ближче розташовуватися до молодика, а середня протягом циклу тривалість календарного року має бути близькою до тривалості тропічного року. Вставка 13-го місяця проводиться час від часу так, щоб початок календарного року підтримувати якомога ближче до якогось моменту астрономічного сонячного року, наприклад, до рівнодення.
5. Сонячний календар
В основі сонячного календаря лежить тривалість тропічного року - 365,24220 діб. Звідси відразу видно, що календарний рік може містити або 365 або 366 діб. Теорія повинна вказати порядок чергування простих (в 365 днів) і високосних (366 днів) років в якомусь певному циклі з тим, щоб середня тривалість календарного року за цикл була по можливості ближче до тривалості тропічного року.
Таким чином, цикл складається з чотирьох років, і протягом цього циклу здійснюється одна вставка. Іншими словами, з кожних чотирьох років три роки мають по 365 днів, четвертий 366 днів. Така система високосів існувала в юліанському календарі. У середньому тривалість такого календарного року на 0,0078 доби більше тривалості тропічного року, і ця різниця приблизно за 128 років складає цілу добу.
З 1582 р . країни Західної Європи, а пізніше і багато інших народів світу перейшли на рахунок часу за григоріанським календарем, проект якого був розроблений італійським вченим Луїджі Ліліо (1520-1576). Тривалість календарного року тут прийнята рівною 365,24250 діб. У відповідності з величиною дробової частини року в проміжку часу в 400 років додатковий 366-й день у році вставляється 97 разів, тобто, в порівнянні з юліанським календарем, тут три доби в 400 років викидається.
Друга календарна система - новоюліанський календар, запропонований югославським астрономом Мілутіном Міланковичем (1879-1956). У даному випадку середня тривалість календарного року дорівнює 365,24222. Вставки додаткового 366-го дня в році тут повинні проводитися 218 разів в кожні 900 років. Це означає, що в порівнянні з юліанським в календарі новоюліанському в кожні 900 років викидається 7 діб. Запропоновано високосними вважати ті вікові роки, у яких число сотень при діленні на 9 дає в залишку 2 або 6. Найближчими такими роками, починаючи з 2000 р ., Будуть ще 2400, 2900, 3300 і 3800. Середня тривалість Новоюліанського календарного року більше тривалості року тропічного на 0,000022 середніх сонячних діб. А це означає, що розбіжність в цілу добу такий календар дає лише за 44 роки.