- •1. Методика проведення позакласної роботи з математики. Питання методики поглибленого вивчення математики.
- •2. Рівняння і нерівності в основній школі і методика їх вивчення.
- •3. Функції в курсі алгебри основної школи. Методика введення поняття функції. Підібрати задачі практичного змісту, які приводять до поняття функції
- •4. Методика вивчення показникової, логарифмічної і степеневої функцій.
- •5. Методика вивчення числових систем. Проценти.
- •8. Вивчення алгебраїчних виразів і їх тотожніх перетворень в шкільному курсі математики.
- •9. Методика вивчення тригонометричних рівнянь і нерівностей.
- •10. Методика вивчення і застосування похідної в шкільному курсі математики.
- •11. Методика вивчення показникових рівнянь і нерівностей.
- •12. Координати і вектори на площині і в просторі. Застосування до розв’язування задач.
- •13. Алгоритмічний підхід у навчанні математики, його позитивні і негативні сторони.
- •14. Теореми, способи доведення теорем. Методика навчання учнів доведенню математичних тверджень.
- •15. Означення математичних понять. Види означень. Логічні помилки в означеннях понять.
- •16. Методика вивчення теми «Тіла обертання».
- •17. Методика вивчення теми «многогранники».
- •18. Задачі в навчанні математиці. Методика розв’язування математичних задач.
- •19. Методика введення первісної (поняття) та її застосування в шкільному курсі математики.
- •20. Об’єми і площі поверхонь геометричних тіл. Методика вивчення.
- •22. Аналіз програм з математики зош. Проблема досягнення обов’язкових результатів навчання.
- •23. Геометричні величини(довжини, кутові величини, площі), методика їх вивчення.
- •24. Методичні особливості вивчення теми «коло і круг».
- •30. Методика вивчення теми «Подібність фігур».
3. Функції в курсі алгебри основної школи. Методика введення поняття функції. Підібрати задачі практичного змісту, які приводять до поняття функції
В курсі алгебри і початків аналізу пропонується таке означення: функцією з областю визначення D, називається відповідність, при якій кожному числу з множини D відповідає деякий цілком певний елемент з множини Е, а кожен елемент множини Е поставлено у відповідність деякому елементу з множини D. В 6 класі слід ознайомити учнів з найпростішими діаграмами, таблицями значень. В 6 класі вводиться поняття координат, слід зауважити, що а) кожній точці відповідає єдина пара чисел, б) кожній парі чисел відповідає єдина точка. Пояснення поняття функції потрібно починати з конкретного прикладу (залежність виду пружини від маси вантажу). Говорять, що довжина пружини є функцією маси підвішеного до неї тіла.
Означення. Якщо кожному значенню змінної х з деякої множини М відповідає одне значення змінної у, то змінну у наз. функцією від х. Змінна х – аргумент, множина М – область визначення функції (аргумент – незалежна змінна, функція - залежна).
Далі треба пояснити, як функція задається за допомогою графіка. Найпростіші елементарні функції вивчають у такій послідовності: , , , , , . Графік кожної з них спочатку будують за точками, а потім роблять висновки. Лінійною називають функцію, яка задається формулою , де х, у – змінні, а, b – числа. Спочатку діти розглядають функцію при b=0. При цьому звертають увагу, що графік функції можна зобразити за допомогою графіка вже відомої їм раніше функції за допомогою паралельного перенесення.
Функцію наз. прямою пропорційністю, оскільки будь-які (відмінні від нуля) значення такої функції пропорційні відповіднім значенням аргументу.
- обернена пропорційність (при збільшенні х значення у зменшиться в стільки разів). Графік гіпербола, якщо k>0 – вітки гіперболи в 1 і 3 чвертях, k<0 – 2 і 4.
Графікам функції є дві вітки параболи, а - одна вітка (виходить з початку координат і розміщена в 1 чверті).
Функція, яка задається формулою називається квадратною. Найпростішою з них є . Слід звернути увагу на властивості графіка:
1. Весь графік розташований у верхній півплощині.
2. Лише одна його точка лежить на осі х.
3. Графік симетричний відносно осі у.
4. Кожна вітка параболи нескінченна.
Графік функції парабола, координати вершини:
Вводять також фізичне і геометричне трактування функції.
Парабола – траєкторія руху тіла, кинутого під кутом до горизонту.
– периметр квадрата прямо пропорційний довжині k його сторони.
4. Методика вивчення показникової, логарифмічної і степеневої функцій.
Показникова функція означається так: Показниковою називається функція, задана рівністю де а>0 і . У зв'язку з цим виникає запитання: навіщо потрібно обмеження ? Припустимо, що основа а=1, тоді степінь ах при будь-якому значення у=1, і тоді він не залежить від х. Коли під функцією розуміли тільки залежну змінну величину, таке обмеження було необхідне. Показникову функцію можна задати графічно за допомогою функціональної шкали. При першому ознайомленні з показниковою функцією бажано розглядати такі властивості: 1). Обл.. визначення - R.. 2). Множина значень - R+. 3). Показникові функція зростає при а>1 і спадає при а<1.
На уроці слід побудувати кілька графіків при різних значеннях а.
Поняття логарифмічної функції. Спробуємо знайти формулу функції, оберненої до показникової функції у = ах.
Функція у=ах зростаюча при а > 1 і спадна при 0<а<1 За достатньою умовою існування оберненої функції до даної функція у=ах має обернену на області визначення D(f)=R (відповідно область значень цієї функції E(f) = (0; + )).
Розв'яжемо рівняння у = ах з двома невідомими відносно невідомої х. Оскільки х є показником степеня ах, то, застосовуючи означення логарифма, матимемо х=logа у = ф (у). Дістали формулу функції, оберненої до функції у=ах=f(х).
3. Поміняємо позначення аргументу і функції у формулі оберненої функції. Дістанемо y=logаx=ф (x). — формулу функції, оберненої до функції у=ах у прийнятих позначеннях аргументу і функції. Одержана обернена функція дістала назву логарифмічної функції.
Логарифмічною називається функція у=1оgaх, де а > 0 і а ≠1, обернена до показникової у=ах.
Відомо, що область визначення і область значень взаємно обернених функцій міняються множинами. Тому D(φ) =(0;+ ), E(φ) =R.
Графік функції у = logаx можна дістати з графіка функції у = ах, симетрично відобразивши останній відносно прямої у = х. Для цього достатньо для кожної точки М(с;d) графіка у=ах побудувати точку М(d; с), симетричну їй відносно прямої у= х.
Властивості логарифмічної функції.
Область визначення логарифмічної функції — множина всіх додатних чисел.
Область значень логарифмічної функції — множина всіх дійсних чисел.
Логарифмічна функція на всій області визначення R+ зростає, якщо а > 1 і спадає, якщо 0 < а < 1.
Для будь-якого а > 0 (а≠1) виконуються рівності:
а)logal = 0;б)logaa= 1;
в) loga (xy) = loga x + loga у, якщо x > 0, у > 0;
г) , якщо x > 0, у >0;
ґ) для будь-якого числа х > 0 і будь-якого pєR
З окремими випадками степеневої функції учні ознайомлювалися в 7 і 8 класах (у = х2, у =х3 , у = ). Однак на тому етапі навчання термін «степенева функція» і відповідне означення ще не вводились, оскільки ще не відбулось розширення поняття степеня до степеня з дійсним показником.
При сталому дійсному показнику р і змінному додатному х маємо функцію у = хр, яку називають степеневою.
Властивості степеневої функції залежать від заданого значення р.
Доцільно розглянути різні можливі множини значень.
І. Нехай р — натуральне число.
Назвімо властивості функції.
1. Область визначення функції - множина всіх дійсних чисел. Область значень залежить від парності чи непарності р. Якщо р — парне, то область значень у=хр є множиною невід'ємних чисел, а якщо непарне, то – множиною R всіх дійсних чисел.
2. Функція парна при парному р і непарна - при непарному/?.
3. При х = 0 і у = 0, при х = 1 і у = 1, тобто всі графіки степеневих функцій проходять через початок координат і точку (1; 1).
4. При парному p функція зростає на проміжку [0; + ) і спадає на проміжку (- ; 0].
При непарному p функція зростає на всій області визначення.
5. При парному р графіки степеневих функцій схожі з графіком функції у = x2, а при непарному - з графіком функції у=x3.
II. Нехай p - ціле від'ємне число.
У цьому випадку функція у = хp визначена на множині всіх дійсних чисел, крім х=0. Коли p - парне від'ємне число, множиною значень функції є множина всіх додатних чисел. Функція парна на області визначення і графік, складаючись з двох віток, симетричний щодо осі у; y=xp зростає за x (- ;0) і спадає за х (0; + ). Коли р - непарне від'ємне число, множиною значень функції є об'єднання
двох числових проміжків (- ; 0) і (0; + ). Функція непарна, спадна на всій області визначення, графік її симетричний стосовно початку координат.
III. Нехай р - дробове додатне число, тобто р = , де т і п - натуральні числа.
З урахуванням означення степеня з дробовим показником степенева функція матиме вигляд у=х = . 3 окремим випадком такої функції (у= ) учні ознайомились в курсі алгебри 8 класу.
При р = , р = степенева функція має вигляд у= , у= відповідно. Графіки двох останніх функцій схожі за формою з графіком функції y= . Неважко довести, що всі функції зростаючі, їхня область визначення залежить від показника кореня. Для парних п функція визначена лише для невід'ємних значень х, для непарних - за будь-якого дійсного х. У загальному випадку функція у= розглядається лише при х 0.
Варто звернути увагу учнів на те, що функції у=х2 і y= при х 0, у=хз і у= при х R - взаємно обернені.