30. Лінійні диф. Рівняння вищих порядків із сталими коефіцієнтами та їх застосування до вивчення коливних процесів.

Лін. диф. р-ням вищих порядків наз. р-ня виду:

Його розв’язок шукають у вигляді і сталу k підбирають так, щоб ця функція була розв’язком диф. р-ня (1).

(2) – характеристичне р-ня диф. р-ня (1), а його розв’язки наз. характеристичними коренями.

Алгебраїчне р-ня (2) є р-ням n-го степеня. Ми шукаємо дійсні розв’язки, а у полі дійсних чисел р-ня n-го степеня можуть мати: 1) n дійсних різних розв’язків, 2) n дійсних, але частина – кратні, 3) n комплексних розв’язків.

1 випадок. Припустимо всі характеристичні корені – дійсні і різні k₁,…,k_n. Маємо: Обчисливши визначник Вронського від n часткових розв’язків отримаємо: Це загальний розв’язок.

2 випадок. Характеристичні корені – комплексні.

З мат. аналізу відомо: Тому для маємо:

Це формула Ейлера.

Лема: Якщо функція комплексної змінної є розв’язком диф. р-ня (1), то розв’язками цього ж р-ня будуть і функції U(x) і V(x).

В загальному випадку розв’язком буде:

Як відомо з фізики та ШКМ р-ня вільного гармонічного коливання: якщо маємо:

Оскільки sin – періодична функція, то загальний розв’язок описує коливний процес з періодом амплітуда – А, а – частота коливань, – фаза коливань.

16